微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根例3、已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为_______【归纳】一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”； 定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，2121212||()4x x x x x x -=+-|， x 1x 22＋x 21x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)，x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)等等；【特别说明】在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零；因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根； 【即时练习】1、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.3、设a ，b 是方程x 2＋x －2 022＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________．4、已知关于x 的一元二次方程21202mx x ++=有两个不相等的实数根； （1）求m 的取值范围；（2）当方程一个根为1时，求m 的值以及方程的另一个根．5、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=，（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程两实数根之积等于292m m -+6m +的值．【教师版】 微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；【提示】注意：首先通过判别式确定参数的取值范围；【解析】（1）由题得Δ＝(2k ＋3)2－4k 2>0，解得k >－34，所以，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞； （2）由题知，x 1＋x 2＝－2k －3，x 1x 2＝k 2，所以，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2k －3k 2＝－1，解得k 1＝3，k 2＝－1，又因为k >－34，所以，k ＝3；【说明】一元二次方程的根与系数关系：首先，通过判别式保证有根，然后，根与系数关系再结合代数变换。

例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根 【提示】注意：根与系数关系与代数变换的交汇； 【解析】（1）证明：一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0，因为，a ＝1，b ＝－(m －3)＝3－m ，c ＝－m 2，所以，Δ＝b 2－4ac ＝(3－m )2－4×1×(－m 2)＝5⎝⎛⎭⎫m －352＋365. 所以，Δ>0恒成立，则方程总有两个不相等的实数根．（2）因为，x 1x 2＝c a ＝－m 2≤0，x 1＋x 2＝－ba ＝m －3，且|x 1|＝|x 2|－2，所以，x 1，x 2异号， |x 1|－|x 2|＝－2，若x 1>0，x 2<0，上式化简得x 1＋x 2＝－2，∴m －3＝－2，即m ＝1， 方程化为x 2＋2x －1＝0，解得x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2， 若x 1<0，x 2>0，上式化简得－(x 1＋x 2)＝－2，∴x 1＋x 2＝m －3＝2， 即m ＝5，方程化为x 2－2x －25＝0， 解得x 1＝1－26，x 2＝1＋26.【说明】在保证有根并且确定根与系数关系基础上，要根据题设与代数变换特点“挖掘与发现”隐含条件； 例3、已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为_______【提示】由题设考虑“整体计算”； 【答案】3；【解析】由题知：n ≠0，则1＋2n －1n 2＝0，即1n2－2n －1＝0，又m 2－2m －1＝0，且mn ≠1，即m ≠1n ，所以m ，1n 是方程x 2－2x －1＝0的两根，则m ＋1n ＝2； 故mn ＋n ＋1n ＝m ＋1＋1n＝2＋1＝3； 【说明】对于“多”参数或字母的计算；先化简后求值、整体计算往往是“切入点”；当然，本题中结合“构造”根与系数关系解之，是“亮点”。

【归纳】一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”； 定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a . 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，2121212||()4x x x x x x -=+-|， x 1x 22＋x 21x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)，x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)等等；【特别说明】在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零；因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根； 【即时练习】1、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在 【答案】A ；【解析】由题知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝(m ＋2)2－4m ·m 4>0，解得m >－1且m ≠0. ∵x 1＋x 2＝m ＋2m ，x 1x 2＝14，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m ＋2m 14＝4m ，∴m ＝2或－1.∵m >－1，∴m ＝2.2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.【答案】214【解析】由题知，x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝a ，∵x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 3、设a ，b 是方程x 2＋x －2 022＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________． 【答案】2 021【解析】由题知，Δ>0，a ＋b ＝－1，a 2＋a －2 022＝0，∴a 2＋2a ＋b ＝(a 2＋a )＋(a ＋b )＝2 022－1＝2 021.4、已知关于x 的一元二次方程21202mx x ++=有两个不相等的实数根； （1）求m 的取值范围；（2）当方程一个根为1时，求m 的值以及方程的另一个根．【答案】（1）2m <且0m ≠；（2）52m =-，方程的另一个根为15-【解析】（1）由题意得：2214244202b ac m m ∆=-=-⨯=->，且0m ≠，解得：2m <且0m ≠；（2）把方程一个根为1代入方程21202mx x ++=得：1202m ++=，解得：52m =-，设另一个根为a ，根据韦达定理可得：241552a +=-=-，解得：15a =-，∴方程的另一个根为15-． 5、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=，（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程两实数根之积等于292m m -+6m +的值． 【答案】（1）7m =或1m =-；（2）4．【解析】（1）方程有两相等实根，则有()()2224142670b ac m m m m ∆=-=--+=--=，解得：7m =或1m =-；（2）根据韦达定理，可知122x x m =+，又21292x x m m =-+，则有2922m m m -+=+，解得：10m =，210m =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足2670m m ∆=--≥，仅在10m =时0∆≥成立；综上所述，可得：10m =，6m +的值为4．【说明】考查韦达定理的应用，注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即需满足0∆≥。

用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化。