2021-2022学年重庆十八中两江实验中学九年级（下）第一次作业检查数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1．﹣的倒数是（）A．B．C．D．2．下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．“双十一”期间某市网民的人均消费情况B．黄河水的水质C．疫情期间高风险地区社区居民的体温D．某批次节能灯的最大使用寿命4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，且位似中心为O，OB：OF＝3：2，若线段AC＝9，则线段DE的长为（）A．2B．4C．6D．85．下列运算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．下列条件中，不一定能推得△ABD与△ACD 全等的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠DAC D．∠BAD＝∠CAD 7．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于A，C两点，BD与⊙O相切于点D，连接AD，OD．若∠A＝31°，则∠B的度数为（）A．28°B．31°C．52°D．62°8．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（）个．①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．A．1B．2C．3D．49．若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为（）A．B．C．D．11．若数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，且使关于y的分式方程+＝3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．2B．5C．7D．1012．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC 的面积的最小值为（）A．B．C．D．3二、填空题（本大题共4小题，共16分）13．计算：＝．14．在一个不透明口袋中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余全部相同，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率是．15．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作，再以A为圆心，AC的长为半径作，若A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（结果保留π）．16．随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的．则精品羊肉的单价最低为元．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（1）a（b﹣2a）+2（a+b）（a﹣b）；（2）．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．19．（10分）某学校喜迎建党100周年，组织了征文比赛，并从中各随机抽取20名女生和20名男生的成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，其过程如下：收集数据：女生：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75男生：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90整理数据：成绩x（分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100女生2585男生3755分析数据：统计量平均数中位数众数女生85.75a90男生83.582.5b 应用数据：（1）请直接写出上述表中a＝，b＝；（2）根据以上数据，你认为本次征文比赛中，该校男、女生中谁的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校男、女生共2000名学生参与征文比赛，估计成绩大于90分的学生人数共有多少人？20．（10分）如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E 处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）21．（10分）如图：直线AB与双曲线y＝点交于A、B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA＝2，tan∠AOC＝，B（3，m）（1）求一次函数与反比例函数解析式；（2）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．22．（10分）某公司主营铁路建设施工．（1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？（2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少7a千米，隧道施工里程里程会减少2a千米，桥梁施工里程里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．23．（10分）材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：412是“8阶4级数”，因为；412也是“12阶10级数”，因为．（1）若517是“5阶k级数”且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大3，十位数字为1，且M既是“7阶11级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．24．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点E，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，是否存在这样的点M与点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G．（1）如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长；（2）如图②，若∠CDH+∠BFD＝∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论：（3）如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值．2021-2022学年重庆十八中两江实验中学九年级（下）第一次作业检查数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共48分）1．﹣的倒数是（）A．B．C．D．【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此判断即可．【解答】解：的倒数是，故选：A．2．下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．3．要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A．“双十一”期间某市网民的人均消费情况B．黄河水的水质C．疫情期间高风险地区社区居民的体温D．某批次节能灯的最大使用寿命【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．【解答】解：A．“双十一”期间某市网民的人均消费情况，适合采取抽样调查，因此选项A不符合题意；B．黄河水的水质，适合采取抽样调查，因此选项B不符合题意；C．疫情期间高风险地区社区居民的体温，适合采取全面调查，因此选项C符合题意；D．某批次节能灯的最大使用寿命，适合采取抽样调查，因此选项D不符合题意．故选：C．4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，且位似中心为O，OB：OF＝3：2，若线段AC＝9，则线段DE的长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DF，△ABC∽△DFE，进而求出＝，计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DFE是位似图形，∴AB∥DF，△ABC∽△DFE，∴＝＝，＝，∵AC＝9，∴＝，解得：DE＝6，故选：C．5．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的减法、除法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2，故A不符合题意．B、原式＝5，故B不符合题意．C、与不是同类二次根式，故C不符合题意．D、原式＝＝2，故D符合题意．故选：D．6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D．下列条件中，不一定能推得△ABD与△ACD 全等的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠DAC D．∠BAD＝∠CAD 【分析】由AD⊥BC，可得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用全等三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可得出答案．【解答】解：A、∵AB＝AC，AD＝AD，根据HL能判定△ABD≌△ACD；B、∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，根据SAS能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠B＝∠DAC，∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，不能判定△ABD≌△ACD；D、∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，根据ASA能判定△ABD≌△ACD；故选：C．7．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于A，C两点，BD与⊙O相切于点D，连接AD，OD．若∠A＝31°，则∠B的度数为（）A．28°B．31°C．52°D．62°【分析】先根据圆周角定理求出∠DOC，再利用切线的性质求出∠ODC＝90°，从而求出∠B．【解答】解：∵∠A＝31°，∴∠DOC＝2∠A＝62°，∵BD与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠DOC＝90°﹣62°＝28°，故选：A．8．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A匀速步行去终点B，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中不正确的结论有（）个．①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确；乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②错误；乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③错误；乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误．故其中不正确的结论有3个．故选：C．9．若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形的外角和是它内角和的，结合多边形的内角和和外角和定理得到方程，从而求出边数．【解答】解：根据题意可得：（n−2）•180°＝360°，解得：n＝5．经检验n＝5符合题意，所以这个多边形是五边形．故选：C．10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？如果设有x人，该物品值y元，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵每人出8元，多3元，∴8x﹣3＝y；又∵每人出7元，少4元，∴7x+4＝y．∴根据题意，可列方程组为．故选：C．11．若数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，且使关于y的分式方程+＝3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．2B．5C．7D．10【分析】根据不等式的性质，由得x≥，x≤3．由于关于x 的不等式组恰有3个整数解，所以整数解可能是3、2、1，推断出0＜≤1，即1＜a≤5．由+＝3，得y＝．又因为关于y的分式方程+＝3的解为整数，得是整数且．，故a＝5．【解答】解：解3﹣2x≥a﹣2（3x﹣1）得3﹣2x≥a﹣6x+2．∴x≥．解2﹣x≥得4﹣2x≥1﹣x．∴x≤3．∵数a使关于x的不等式组恰有3个整数解，∴0＜≤1．∴1＜a≤5．∵+＝3，∴2﹣a＝3（y﹣1）．∴y＝．∵关于y的分式方程+＝3的解为整数，∴是整数且．若a为整数，则a可能取值为5．故选：B．12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC 的面积的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】先确定出EG⊥AC且E、G、H三点共线时，S△ACG中高GH最小，所以S△ACG 最小．再利用三角函数求出EH的长，最后GH＝EH﹣1得高．最后求得面积．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°．由勾股定理得：AC＝．∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC任意一点时，点G始终在AC下方，设点G到AC的距离为h．∵S△ACG＝AC•h＝．∴当h最小时，S△ACG最小.∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴当EG⊥AC时，GH＝h最小，此时E、G、H三点共线，如图所示．∵sin∠BAC＝＝＝．∴EH＝2×＝．∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝．∴S△ACG＝＝＝．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共16分）13．计算：＝﹣5．【分析】先根据负整数指数幂、二次根式的化简法则计算，再按照实数的加减运算法则计算即可．【解答】解：原式＝4﹣9＝﹣5，故答案为：﹣5．14．在一个不透明口袋中装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，它们除标号外其余全部相同，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率是．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和为奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和为奇数的结果有8种，∴两次摸出的小球的标号之和为奇数的概率为＝，故答案为：．15．如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作，再以A为圆心，AC的长为半径作，若A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是π﹣2（结果保留π）．【分析】根据题意和正方形的性质，可以得到AB和BC的长，然后利用勾股定理可以得到AC的长，再根据图形，可知阴影部分的面积是扇形ACE的面积减△ACD的面积与以AB为半径，圆心角为45°的扇形的面积之和．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝2，∠EAC＝∠CAB＝45°，∴图中阴影部分的面积是：+[﹣]＝π﹣2，故答案为：π﹣2．16．随着气温降低，吃羊肉的重庆人越来越多．于是王老板预定了一批羊排、羊腿、精品羊肉．第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良宣传力度大，小区邻居的预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批羊排、羊腿、精品羊肉，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5．若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部卖完，总利润率为16%，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的．则精品羊肉的单价最低为40元．【分析】设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，则第二批羊腿重量为y斤，根据题意，得3x+y＝（6x+y），求得y＝12x，从而求得第二批羊排重量为6x斤，精肉重量为4x斤，总成本为50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x），设羊排价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），根据题意，得[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），m≤（64+n），求n的最小值即可．【解答】解：设第一批精肉的数量为x斤，则羊排数量为2x斤，羊腿数量为3x斤，设第二批总重量为y斤，羊排重量为a斤，则第二批羊腿重量为y斤，根据题意，得3x+y＝（6x+y），解得y＝12x，∵羊排和精品羊肉的总数量之比为8：5，∴（2x+a）：（x+12x﹣2x﹣a）＝8：5，解得a＝6x，∴精肉重量为4x斤，∴总成本为[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]元，设羊腿价格为m元，精肉价格为n元，则总利润为[14（2x+6x﹣x）+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x）]元，根据题意，得：[50（2x+6x）+42（3x+2x）+38（x+4x）]×16%＝64（2x+6x﹣x）﹣50×8x+（m﹣42）（3x+2x）+（n﹣38）（x+4x），解得m+n＝96，∵羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，∴m≤（64+n），解得n≥40，∴n的最小值为40．故答案为：40．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（1）a（b﹣2a）+2（a+b）（a﹣b）；（2）．【分析】（1）原式利用单项式乘多项式法则，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝ab﹣2a2+2（a2﹣b2）＝ab﹣2a2+2a2﹣2b2＝ab﹣2b2；（2）原式＝[+]•＝•＝•＝．18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．【分析】（1）理由基本作图作AC的垂直平分线即可；（2）先根据线段的垂直平分线的性质得到AG＝CG，再根据平行四边形的性质得到AD ∥BC，所以∠EAG＝∠FCG，则可判断△AGE≌△CGF，所以EG＝FG，然后利用AC 与EF互相垂直平分可判断四边形AFCE为菱形．【解答】解：（1）如图，EF为所作；（2）四边形AFCE为菱形．理由如下：∵EF垂直平分AC，∴AG＝CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAG＝∠FCG，在△AGE和△CGF中，，∴△AGE≌△CGF（ASA），∴EG＝FG，∴AC与EF互相垂直平分，∴四边形AFCE为菱形．19．（10分）某学校喜迎建党100周年，组织了征文比赛，并从中各随机抽取20名女生和20名男生的成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，其过程如下：收集数据：女生：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90 100 80 80 90 95 75男生：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90 70 80 95 75 100 90整理数据：成绩x（分）60＜x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100女生2585男生3755分析数据：统计量平均数中位数众数女生85.75a90男生83.582.5b 应用数据：（1）请直接写出上述表中a＝87.5，b＝80；（2）根据以上数据，你认为本次征文比赛中，该校男、女生中谁的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校男、女生共2000名学生参与征文比赛，估计成绩大于90分的学生人数共有多少人？【分析】（1）将女生成绩重新排列，利用中位数的概念求解可得a的值，利用众数的概念可直接得出b的值；（2）从众数、中位数和平均数的角度分析可得答案；（3）用总人数乘以样本中成绩大于90分的学生人数所占比例即可．【解答】解：（1）将女生成绩重新排列为：65、70、75、75、80、80、80、85、85、85、90、90、90、90、90、95、95、95、100、100，女生成绩的中位数a＝＝87.5，男生众数b＝80，故答案为：87.5，80；（2）女生的成绩更好，因为女生成绩的平均数、众数和中位数均大于男生；（3）估计成绩大于90分的学生人数共有2000×＝500（人）．答：估计成绩大于90分的学生人数共有500人．20．（10分）如图，在同一剖面内，小明在点A处用测角仪测得居民楼的顶端F的仰角为27°，他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处，沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点F的仰角为54°，然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E 处，若斜坡BC的坡度为3：4，请你求出居民楼EF的高度．（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到0.1米．）参考数据：sin27°≈0.45，tan27°≈0.51，sin54°≈0.81，tan54°≈1.38）【分析】过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，得矩形CGHE，根据锐角三角函数即可求出居民楼EF的高度．【解答】解：如图，过点C作CG⊥AD于点G，EH⊥AD于点H，得矩形CGHE，∴CE＝GH，CG＝EH，在Rt△BCG中，BC＝25米，CG：BG＝3：4，∴CG＝EH＝15米，BG＝20米，在Rt△AFH中，AH＝AB+BC+GH＝30+20+GH＝50+CE，∵∠F AG＝27°，∴FH＝AH•tan27°，∴EF+15≈（50+CE）×0.51，在Rt△FCE中，∵∠FCE＝54°，∴EF＝CE×tan54°≈1.38CE，∴1.38CE+15≈（50+CE）×0.51，解得CE＝，∴EF≈1.38CE≈16.7（米），∴居民楼EF的高度约为16.7米．21．（10分）如图：直线AB与双曲线y＝点交于A、B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA＝2，tan∠AOC＝，B（3，m）（1）求一次函数与反比例函数解析式；（2）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．【分析】（1）根据OA＝2，tan∠AOC＝，可求出点A的坐标，进而求出反比例函数的关系式，再求出点B的坐标，进而求出直线AB的关系式，（2）求出点D的坐标，再求出点F的坐标，可得到AF∥x轴，AF＝OM＝6，三角形的面积用AF为底，以A、B两点纵坐标的绝对值的和为高，进而求出面积．【解答】解：（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，∵OA＝2，tan∠AOC＝，设AM＝2x，OM＝3x，由勾股定理得，（2x）2+（3x）2＝（2）2，解得：x＝2（取正值），∴AM＝4，OM＝6，∴A（﹣6，4）代入反比例函数关系式得，k＝﹣6×4＝﹣24，∴反比例函数解析式为y＝﹣，当x＝3时，y＝﹣8＝m，∴点B（3，﹣8）设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A、B两点的坐标代入得，，解得，k＝﹣，b＝﹣4，∴一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4．答：一次函数的关系式为y＝﹣x﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点D（0，﹣4），∵点F是点D关于x轴的对称点，∴点F（0，4），∴点A（﹣6，4），∴AF∥x轴，∴S△AFB＝×6×（4+8）＝36，答：△ABF的面积为36．22．（10分）某公司主营铁路建设施工．（1）原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？（2）到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程里程会减少7a千米，隧道施工里程里程会减少2a千米，桥梁施工里程里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值．【分析】（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米，根据隧道施工至少是桥梁施工的9倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；（2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元，根据第一季度施工的总成本为254亿元，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m的值，再由第二季度总成本与第一季度相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设原计划今年一季度，桥梁施工x千米，则隧道施工（146﹣106﹣x）千米，依题意，得：146﹣106﹣x≥9x，解得：x≤4．答：原计划今年一季度，桥梁施工最多是4千米．（2）设平地施工每千米的成本为m亿元，则隧道施工每千米的成本为3m亿元，桥梁施工每千米的成本为10m亿元，依题意，得：106m+（146﹣106﹣4）×3m+4×10m＝254，解得：m＝1．∴（106﹣7a）×1+（146﹣106﹣4﹣2a）×3+（4+a）（10+a）＝254，整理，得：a2﹣2a＝0，解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝2．答：a的值为2．23．（10分）材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：412是“8阶4级数”，因为；412也是“12阶10级数”，因为．（1）若517是“5阶k级数”且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大3，十位数字为1，且M既是“7阶11级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．【分析】（1）先根据新定义列出关于k的分式，然后由k＜300求得k的最大值；（2）先设M的个位和千位分别为x、y，则百位数字为x+3，进而根据“7阶11级数”和“6阶5级数”的定义列出整式，然后求得x＝1或x＝6，进而求得y的值，最后得到四位数M．【解答】解：（1）∵517是“5阶k级数”，∴＝是整数，∵512＝1×512＝2×256＝••，k＜300，∴k的最大值为256；（2）设M的个位和千位分别为x、y，则百位数字为x+3，∴M＝1000y+100（x+3）+10+x＝1000y+101x+310，∵M既是“7阶11级数”，又是“6阶5级数”，∴＝和＝200y+20x+60+是整数，∴和都是整数，∵0≤x≤9，1≤y≤9，∴x＝1，y＝8或x＝6，y＝7，∴M＝8411或M＝7916．24．（10分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点E，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，是否存在这样的点M与点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），列方程组，解方程组即可得到结论；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．解方程得到x1＝4或x2＝﹣2，求得B （4，0）．可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），于是得到点F的坐标为（n，2n﹣8），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论；（3）根据二次函数的性质得到D（1，﹣9）．将x＝1代入直线BC的解析式y＝2x﹣8，得求得E（1，﹣6），待定系数法求得直线CD的解析式为y＝﹣x﹣8．设点M的坐标为（m，﹣m﹣8）．当EM＝BM时，根据两点间的距离公式得到点M的坐标为（，）．当EM＝EB时根据两点间的距离公式得到点M的坐标为（﹣5，﹣3）或（4，﹣12）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．在抛物线y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，则x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝4或x2＝﹣2，∴B（4，0）．由点B（4，0）和C（0，﹣8），可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），则点F的坐标为（n，2n﹣8），由题知0＜n＜4，∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）＝﹣n2+4n．∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB•PF＝×4×（﹣n2+4n）＝﹣2n2+8n＝﹣2（n﹣2）2+8．∵0＜2＜4，∴当n＝2时，S△PBC取得最大值，此时，点P的坐标为（2，﹣8）；（3）存在这样的点M，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴D（1，﹣9）．将x＝1代入直线BC的解析式y＝2x﹣8，得y＝﹣6，∴E（1，﹣6），由点C（0，﹣8）和D（1，﹣9），可得直线CD的解析式为y＝﹣x﹣8．设点M的坐标为（m，﹣m﹣8）．当EM＝BM时，如图2﹣1，（m﹣1）2+（m+2）2＝（m﹣4）2+（m+8）2，解得：m＝﹣，∴点M的坐标为（，）．当EM＝EB时，如图2﹣3，。