直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，=342，则x 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题问题十：范围问题（本质是函数问题）问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m +=过动点0±（，，则1例题2一点 设直线由2y y =⎧⎨=⎩即20k <由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d AB 。
AB=221kk=+d=21k+=k=±满足②式此时053x=。
题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>且在x（I（II）异于点解：（I224xy+（II2)x+，由2yx=⎧⎨⎩根，12x∴-=的坐标为2128(k-同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为222222(,1414k k++12(2),(2)p py k t y k t=+=-12122k kk k t-∴=-+，直线MN的方程为：121121y y y yx x x x--=--，∴令y=0，得211212x y x yxy y-=-，将点M、N的坐标代入，化简后得：4xt=又2t>，∴402t<<椭圆的焦点为0)4t∴=3t=故当t =时，MN 过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC解：(I) 2BC AC =，且OC AC∴=0ACBC =∴∠又 A (23,0)A (23,0)是椭圆的右顶点，(II)∴y -2(13)0k +3x =是方程的一个根，229183313Pk k x k --∴=+即2P x =同理可得：2Q x = ))P Q P Q y y kx k kx k -=-++＝()P Q k x x +- 22P Q x x -=13P Q PQP Q y y k x x -==- 则直线PQ 的斜率为定值13。
题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22194x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r ,求实数l的取值范围。
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),Q DP DQ l =uuu r uuu r\(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)即12123(3)x x y y l l ì=ïïíï=+-ïïî 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，由223y kx =+⎧⎨消y 整理后，得 P 1212()x x x x + ② 的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB 。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，得223(1)4m k =+。
= （p>0）（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）,可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB的方程为y=kx+p,与x 2=2py 联立得⎨⎧=22py x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x 2＝∴径的圆则O 'O '＝∴令2py =， 即抛物线的通径所在的直线. 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ＝.21222+⋅+k k p又由点到直线的距离公式得212kp d +=.从而，,2212212212122222+=+⋅+⋅+⋅=⋅⋅=∆k p k p k k p AB d S ABN（Ⅱ）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以AC 为直径的圆的方程为,0))(())(0(11=-----y y p y x x x 将直线方程y=a 代入得设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）,则有 2py =. 满足：PM +P 的坐标.解：((Ⅱ)1cos PN =-cos 2.PM PN MPN PM PN =- ① 因为不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形PMN中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MN PM PN PM PN MPN =+- ② 将①代入②，得 22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213x y -=上.由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即P点坐标为. 问题九：四点共线问题例题9、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M，且着焦点为1(F（Ⅰ（ⅡQ ，满足AP QB AQ PB =，证明：点解 (1)由题意：,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PBQB=,则λB ，Q 四点共线，从而AQ QB λ=11λ=- 121λ+121λ+从而22212241x x x λλ-=-，（1）2221221y y y λλ-=-，（2）又点A 、B 在椭圆C 上，即（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上方法二设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。
且PA PB AQQB=又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是1141,11x yx y λλλλ--==-- （1） 41x yλλ++ （2）24,=整理得设1F 、中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则 因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则((22222211232x y x y x y ⎡⎤=+++-+-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一） （Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ∴121243,11k x x x x +=-⋅=∴OA OB x x ⋅=()4x x ++284k -=++=设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2） ，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2） ，,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y +=（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y k x m =+解方程组221x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪得2x1x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,1y y 使O 以2k 因为为r =y 与椭圆22184x y +=的两个交点为或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.因为12221224122812kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,所以222 22212121222224288(84) ()()4()41212(12)km m k mx x x x x xk k k--+ -=+-=--⨯=+++, ==,①当k因为4k.②当k③当此时||AB综上,。