因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得
S f Su fu ert
将
fu f d Su Sd
代入上式就可得到：
f e r t pf u 1 p f d
其中
e rt d p ud
4
在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
Rubinstein所用的条件） 由以上三式可得，当
t 很小时：
p
e rt d ud
u e
t
d e tFra bibliotek从而 f e r t pf u 1 p f d 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。
5
倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 t 时间 长度内以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值；
7
当标的资产支付连续收益率为
q 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，
r q 因此：
e ( r q) t pu (1 p)d
e ( r q ) t d p ud
对于股价指数期权来说， q 为股票组合的红利收益 率；对于外汇期来说， q 为国外无风险利率，因此 以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。
际上是在用大量离散
的小幅度二值运动来 模拟连续的资产价格
相同期 限下步 长越小
精确度 越高
运动
3
无套利定价法： 构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 fd 当 Su u Sd 时 ,股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合
此时
fu f d Su Sd
,N 可得：f N，j max( X Su j d N j ,0)，其中 j 0,1, rt 若期权不被提前执行， t 后，则：fij e [ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ] 所以 fij (0 i N ,0 j i) 实际上表示在时间 it 时第j个结点处的 美式看跌期权的价值 若有提前执行的可能性，则 fij max{X Su j d i j , ert [ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ]} 这样推至 f 00 即为当前期权的价格。
假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在0到τ之间，则在iΔt时刻不确定部分的价值为： 当 it 时 S * (it ) S (it ) 当 it 时（表示红利） S * (it ) S (it ) De r ( it ) 综上可得在 i t 时刻： 当 i t 时，这个树上每个结点对应的证券价格为： S0*u j d i j Der ( it ) 当 it 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提 前执行期权和继续再持有 t 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中 较大者作为本结点的期权价值。（见书本案例 12.1）
6
二叉树一般定价过程 假设把该期权有效期划分成N个长度为 t 的小区间，同时用 Su j d i j 表示结点 (i, j ) 处的证券价格
j 0,1,
u e
t
d e
t
8
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 i t 在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i 如果时刻i t 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j j 0,1,
在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分 方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情 形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数 值方法（Numerical Procedures）为期权定价，主要包括二叉 树方法（Binomial Trees）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值 方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻 为零时刻。
,i
时刻结点的相应的证券价
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 i t 格为： S (1 )u j d i j
i
（
i
为0时刻到 i t 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
9
如何解决节 点不重合的问 题
Su S S-D Sd Sd2-D 除权日 Su2-D
10
在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我 们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权 有效期内所有未来红利的现值。
Sert pSu (1 p)Sd e rt pu (1 p)d
假设证券价格遵循几何布朗运动，则：
S 2 2 t pS 2 u 2 (1 p)S 2 d 2 S 2 [ pu (1 p)d ] 2
2 t pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2 1 再设定： u （第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和 d
1
把期权的有效期分为很多很小的时间间 隔 t ，并假设在每一个时间间隔 t 内证 券价格只有两种运动的可能：
Su p S 1-p Sd
1、从开始的 S 上升到原先的
u 倍，即到达 Su
；
2、下降到原先的 d 倍，即 Sd 相应地，期权价值也会有所不同，分 别为 fu 和 fd 。
2
二叉树模型的思想实