西北农林科技大学实习报告
学院：理学院 专业年级：信计061 姓名：袁金龙 学号：15206012 课程：微分方程数值解 报告日期：2008-12-3
实习二、二维问题的有限差分方法
一）
实习问题：
二维经典初边值问题：
2
22
2,01(,0),01(0,)(1,)0,01x
u u te t t t u x x
x u t u t t ⎧∂∂=+<≤⎪∂∂⎪⎪=<<⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩
二）算法描述：
由古典显格式利用线性组合的思想，可得古典隐格式：
1
111
11
2
k k
k k k j
j
j j
j k
j u u u u u a
f h
τ
+++++---+=+
上式可简化为：1
1
111(12)k k k k k
j j j j j j j j r u r u r u u f τ+++-+-++-=+
写成矩阵形式：
1111112122211111111
1
11200
0*00
12k k k
k k k k k k n n n n n k k k k k k
r r u u f r u u f u u f r r U F U F ττ+++-----+--++-⎤⎡⎡⎡⎡
⎤⎤⎤⎥⎢-⎢⎢⎢⎥⎥
⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎥⎢=+⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎦⎦⎦
⎣⎣⎣⎥⎢-+⎣
⎦
=+=+G U U G G
L
O O O
O M M M O O L
由题知a=2
三）matlab 程序：
function []=erchubian(a,n,m) %n,m 分别表示空间与时间分成的分数 %r 表示网格比 %a 表示二阶导数的系数 h=1/n; g=1/m; r=(a*g)/(h*h);
for i=1:n
x(i)=h*i;
end
for i=1:m
t(i)=g*i;
end
for i=1:(n-1)
G(i,i)=1+2*r;
end
for i=1:(n-2)
G(i,i+1)=-r;
end
for i=2:n-1
G(i,i-1)=-r;
end
for i=2:n
for j=1:m
F(i,j)=f(x(i),t(j));
end
end
%求U(1:n,1)
for i=2:n
U(i,1)=x(i)*x(i);
end
for i=2:m
U(2:n,i)=inv(G)*U(2:n,i-1)+g*inv(G)*F(2:n,i-1); end
U
%绘制三维图
for i=1:n
for j=1:m
plot3(x(i),t(j),U(i,j),'H');
hold on;
end
end
四）图形显示的计算结果：
1。