必修五阶段测试一(第一章　解三角形)时间：120分钟　满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·江西金溪一中月考)已知△ABC 中，a ＝，b ＝，B ＝60°，那么∠A ＝( )23A ．45° B ．90° C ．130°或45° D ．150°或30°2．在△ABC 中，B ＝，AB ＝8，BC ＝5，则△ABC 外接圆的面积为( )π3A.B ．16πC.D ．15π49π347π33．(2017·黑龙江鸡西期末)已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的3大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°4．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B ·sin C ＋sin 2C ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c, a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A.B.C.D.(π2，π)(π4，π2)(π3，π2)(0，π2)6．(2017·阆中中学质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果b cos C ＋c cos B －a sin A ＝0，那么△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.B.C ．－D ．±72524257257258．(2017·青海师范大学附属中学月考)在△ABC 中，A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，那么三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．1∶∶2D ．2∶∶1339．在△ABC 中，b ＝8, c ＝8， S △ABC ＝16，则∠A 等于( )33A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°10．(2017·莆田六中期末)如图，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )b o oA ．50 mB ．25 mC ．25 mD ．50 m332211．在锐角△ABC 中，B ＝2A ，则的取值范围是( )ACBC A ．(－2,2)B ．(，2)C ．(0，)D ．(，)232312.A ，B 两地相距200 m ，且A 地在B 地的正东方．一人在A 地测得建筑C 在正北方，建筑D 在北偏西60°；在B 地测得建筑C 在北偏东45°，建筑D 在北偏西15°，则两建筑C 和D 之间的距离为( )A ．200 mB ．100 mC ．100 mD ．100(－1)m2763二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.14．(2017·唐山一中月考)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若＋＝6cos C ，则＋＝________.b a a b tan C tan A tan Ctan B 15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．16．已知△ABC 的面积为，AC ＝，∠ABC ＝，则△ABC 的周长等于_________．323π3三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝5，AB ＝7，∠BDA ＝60°，∠CBD ＝15°，求BC 的长．18.(12分)(2017·贵州铜仁期中)设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，S 是△ABC 的面积，已知a ＝4，b ＝5，S ＝5.3(2)求c 边的长度．19．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且＝S △b 2＋c 2－a 2283ABC (其中S △ABC 为△ABC 的面积)．(1)求sin 2＋cos2A ；B ＋C2(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a .20.(12分)(2017·河北开滦一中期末)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值；(2)求AE.21．(12分)(2017·山西省朔州期末)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，cos A ＝，sin B ＝，c >4.345716(1)求b ；(2)求证：C ＝2A .22．(12分)如图所示，一辆汽车从O 点出发，沿海岸一条直线公路以100 km/h 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O 点南偏东方向距O 点500 km ，且与海岸距离为300 km的海上M 处有一快艇，与汽车同时发出，要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品送到司机手中，并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与OM 所成的角．答案与解析1．A 由正弦定理＝，a sin A bsin B 得sin A ＝＝＝.a sin Bb 2sin60°322又a <b ，∴A <B ，∴A ＝45°.2．A 由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝64＋25－2×8×5×＝49，∴AC ＝7.12由正弦定理得＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，∴R ＝＝＝.∴△ACsin B AC2sin B 72×32733ABC 外接圆的面积S ＝πR 2＝.49π33．B S △ABC ＝BC ·CA ·sin C ，12∴×4×3·sin C ＝3，123∴sin C ＝，32又△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°，故选B.4．C 由正弦定理，得sin A ＝， sin B ＝， sin C ＝(其中R 为△ABC 外接圆半a2R b2R c2R 径)，代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin B ·sin C ＋sin 2C ，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2＝b 2＋c 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理得cos A ＝＝＝－.b 2＋c 2－a 22bc－bc2bc 12又0°<∠A <180°，∴∠A ＝120°.故选C.5．C 解法一：cos A ＝，b 2＋c 2－a 22bc ∵a 2<b 2＋c 2, a >b >c, cos A <＝<＝，∴cos A >0，且cos A <.a 2＋c 2－a 22bcc2b b2b 1212∴∠A 的范围为，故选C.(π3，π2)解法二：∵a >b >c, ∴a 为最长边，∠A >.π3又a 2<b 2＋c 2, ∴∠A <. ∴<∠A <.故选C.π2π3π2∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin 2A ＝0.∴sin(B ＋C )－sin 2A ＝0.∴sin A －sin 2A ＝0，∴sin A ＝0(舍去)或sin A ＝1，∴A ＝.故选A.π27．A ∵C ＝2B ，∴sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B .又∵8b ＝5c ，＝，∴＝＝.∴cos B ＝＝×＝.csin C bsin B c b sin Csin B 85sin C2sin B 128545∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝2×2－1＝.(45)7258．C a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝∶∶1＝1∶∶2，故选C.123239．C ∵S △ABC ＝bc sin A, ∴sin A ＝＝.122S △ABC bc12∴∠A ＝30°或150°，经检验均满足已知条件，故选C.10．D ∠CBA ＝180°－∠ACB －∠CAB ＝180°－45°－105°＝30°，∴＝，∴AB ＝＝＝50 m ．故选D.AB sin ∠BCA AC sin ∠CBA AC ·sin ∠BCAsin ∠CBA 50×sin45°sin30°211．D ∵B ＝2A ，∴＝＝＝2cos A ，AC BC sin B sin A sin2Asin A ∵△ABC 是锐角三角形，∴Error!∴＜A ＜，π6π4∴＜2cos A ＜，故选D.2312．C 由题可知△BCA 是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ＝200，BC ＝200，2∠DBC ＝15°＋45°＝60°，∵∠DAB ＝90°－60°＝30°，∴∠BDA ＝45°，∴＝.ABsin45°DBsin30°∴DB ＝＝100，AB ·sin30°sin45°2∴DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC ·cos60°＝(100)2＋(200)2－2×100×200×222212＝6×1002，∴DC ＝100 m ，故选C.613.2π3解析：由3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b .又b ＋c ＝2a ，∴a ＝，b ＝.5c73c7在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝＝－.a 2＋b 2－c 22ab12∴C ＝.2π314．4解析：＋＝6cos C ，∴b 2＋a 2＝6ab cos C ＝3(a 2＋b 2－c 2)，b a ab ∴3c 2＝2a 2＋2b 2.＋＝tan C ＝tan Ctan A tan Ctan B (cos Asin A ＋cos Bsin B )＝＝＝sin C cos C sin (A ＋B )sin A sin B sin2Ccos C sin A sin B c 2ab cos C ＝4.23(a 2＋b 2)16(a 2＋b 2)15．403解析：设另两边分别为8t,5t (t >0)，则由余弦定理得142＝(8t )2＋(5t )2－2·8t ·5t ·cos60°，∴t 2＝4, ∴t ＝2.∴S △ABC ＝×16×10×＝40.1232316．3＋3解析：由已知得＝AB ·BC sin ，∴AB ·BC ＝2.又3212π3rAC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝AB 2＋BC 2－AB ·BC ＝(AB ＋BC )2－3AB ·BC ＝(AB ＋BC )2－6.又AC ＝，∴AB ＋BC ＝3.∴AB ＋BC ＋AC ＝3＋.3317．解：在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos60°，又AD ＝5，AB ＝7，∴BD 2－5BD －24＝0，解得BD ＝8.在△BCD 中，∠BDC ＝30°，∠BCD ＝135°，由正弦定理得BC ＝＝BD sin ∠BDCsin ∠BCD ＝4.8sin30°sin135°218．解：(1)由题知S ＝5，a ＝4，b ＝5.3由S ＝ab sin C 得，125＝×4×5sin C ，312解得sin C ＝，32又C 是△ABC 的内角，所以C ＝或C ＝.π32π3(2)当C ＝时，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝16＋25－2×4×5×＝21，解得π3π312c ＝；21当C ＝时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝2π32π316＋25＋2×4×5×＝61，解得c ＝.1261综上得，c 边的长度是或.216119.解：(1)由已知得＝×bc sin A ，即3cos A ＝4sin A >0，又∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，2bc cos A 28312∴sin A ＝，cos A ＝.3545sin 2＋cos2A ＝＋cos2A ＝2cos 2A ＋－＝2×＋－＝.B ＋C21＋cos A 2cos A 212162542×5125950(2)由(1)知sin A ＝，S △ABC ＝bc sin A ＝3，b ＝2，3512∴c ＝5.又∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝4＋25－2×2×5×＝13，45∴a ＝.1320．解：(1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝.6＋24(2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得＝，AEsin (45°－15°)2sin (90°＋15°)故AE ＝＝＝－.2sin30°cos15°2×126＋246221.解：(1)∵cos A ＝，34可得sin A ＝＝，1－cos2A 74∴由正弦定理可得b ＝＝＝5.a ·sin Bsin A 4×571674(2)证明：∵由(1)可得a ＝4，cos A ＝，b ＝5，34∴由余弦定理可得16＝25＋c 2－2×b ×c ×，34整理可得2c 2－15c ＋18＝0，∴解得c ＝6或(c >4，故舍去)，32∴由正弦定理可得sin C ＝＝＝.c sin Aa 6×744378又∵sin2A ＝2sin A cos A ＝2××＝，7434378∴可得sin C ＝sin2A ，∵C ∈(0，π)，2A ∈(0，π)，∴C ＝2A ，或C ＋2A ＝π(A ≠B 故舍去)．∴C ＝2A ，得证.22．解：如图，设快艇从M 处以v km/h 的速度出发，沿MN 方向航行，t 小时后与汽车相遇．在△MON 中，MO ＝500，ON ＝100t, MN ＝v t .设∠MON ＝α.由题意知sin α＝，则cos α＝.3545由余弦定理知MN 2＝OM 2＋ON 2－2OM ·ON ·cos α，即v 2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100t ·.45v 2＝5002·－2×500×80·＋10021t 21t ＝2＋3 600.(500·1t －80)当＝，即t ＝时， v ＝3 600，即快艇必须至少以60 km/h 的速度行驶．此时1t 805002542minMN ＝60×＝15×25.254MQ 是M 到ON 的距离，且MQ ＝300，设∠MNO ＝β，∴sin β＝＝.30015×2545∴α＋β＝90°， ∴MN 与OM 成直角．∴快艇至少必须以60km/h 的速度行驶，才能把物品送到司机手中，其行驶方向与OM 成直角．。