第三章 中值定理与导数的运用§3.1 微分中值定理 1、证明: 222arctan arctan 1xx xπ-=- , 在 1x <<+∞ 成立. 证明：令()222arc arc ,1xf x tgx tg x =--1x <<+∞，因()()()()22222221222112111x x x f x x x x x ---'=-⋅+⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭()()()()222222222212122011141x x x x x x x ++=-=-=++-++ 所以()f x C =，又因为2arc arc ,13ftgπ==-所以C π=，得证！2、证明不等式: arc arc tga tgb a b -≤-. 证明：（1）当a b =时，不等式显然成立。

（2）当a b <时，令()[]arctan ,,,f x x x a b =∈则()[],f x a b 在上连续,在(),a b 可导,由拉格朗日中值定理知,存在()()()()(,),,a b f b f a f b a ξξ'∈-=-使即()21arctan arctan ,(,),1b a b a a b ξξ-=-∈+ 故21arc arc 1tga tgb b a a b ξ-=-≤-+，(,)a b ξ∈ （3）当a b >时，令()[]arctan ,,,f x x x b a =∈ 以下证法同（2）.3、设()f x 在( , +)-∞∞满足()()f x f x '=()()f x f x '=,且(0)1f =,证明: ()x f x e =.证明：令()(),( , +),x x e f x x ϕ-=∈-∞∞()()()()()0,,x x x x e f x e f x x e f x C ϕϕ---''=-+≡=≡因为所以 即()()()(),01,1,x f x Cf x f C f x e ====又因所以从而4、设()f x 在[],a b 连续,在(),a b 二阶可导, 连接点(,())A a f a 和(,())B b f b 的直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c , 证明: 在(),a b 内存在一点ξ,使()0f ξ=".证明：因为直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,所以()()()()f b f c f c f a b c c a--=--由拉格朗日中值定理知：存在()1,,a c ξ∈使()()()1f c f a f c a ξ-'=-，存在()2,,c b ξ∈使()()()2f b f c f b cξ-'=-，从而()1f ξ'=()2f ξ'由罗尔定理知，存在()()12,,,a b ξξξ∈⊂使()0f ξ''=§3.2 洛必达法则1、求下列极限(1). 10lim xx ex+-→ ; 解：1t x=令，则10lim x x e x +-→=1lim lim lim 0tt t t t t t te e e -→∞→∞→∞===(2). 01cos limsin x xx x→-;解：01cos lim sin x x x x →-=220112lim 2x xx →= (3). 1ln(1)lim x e x x -+→;解：令()1ln(1)1,ln ln ln 1x e x y xy x e -==-则0lim ln x y +→=()0011lim ln lim1ln 11x x x x x x x e e e ++→→==-- 所以1ln(1)lim x e x x -+→=0lim x y +→=e (4). 22011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭;解：原式2243000sin 2sin 24sin 21lim lim lim 4243x x x x x x x x x x x →→→--==== (5). ()2lim sec tan x x x π→-;解：()2lim sec tan x x x π→-221sin cos limlim 0cos sin x x x xx x ππ→→--===-(6).0111lim sin tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：原式22001cos 12lim lim sin 2x x x x x x x →→-=== 2. 求解下列各题(1).11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭； 解：11lim 1ln x x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭()1111ln lim 1lim 11ln 1ln x x x x x x x x →→⎛⎫-⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 111lim 111ln x x x x →⎛⎫- ⎪=+ ⎪ ⎪+-⎝⎭21211lim 1112x x x x →⎛⎫- ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭ (2).设()f x ''存在且连续，求()()()22limh f x h f x h f x h →++--；解：()()()()()2002lim lim 2h h f x h f x h f x f x h f x h h h→→''++--+--= =()()lim02h f x h f x h →''''++-=(3).求,a b 的值，使函数()()2ln ,1,,1,a x x f x x b x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩在1x =可导.解：由题意知()()()211lim lim ln ln 11x x f x a x a b →+→+=+=+=+又若()f x 在1x =可导，则满足()()11lim 1x f x f x →+--()211ln 11lim lim 111x x a x b x b b x x →+→-+--+--===--得 ()22112ln 1lim lim 111x x xa xb a x x →+→++--+==-，得1,ln 21a b ==-.§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性1、求532()4155159f x x x x x =-++-的单调区间.解：42'()20451015f x x x x =-++令42'()20451015(23)(1)(1)(21)0f x x x x x x x x =-++=+--+=，得123431,1,22x x x x =-===-所以函数在3(,)2-∞-和1(,)2-+∞单调递增，在31(,)22--单调递减2、求函数()25y x =-.解：()()132'5(42)1,13y x x x x -=--+≠-令'0y =得15,2x x ==.所以函数在1(1,)2-和(5,)+∞单调递增，在(,1)-∞-和1(,5)2单调递减3、求函数y a =.解：253312'(),''(),()39y x b y x b x b --=--=-≠由0y ''=得,x b y a ==当,0x b y ''<<，所以在区间](,b -∞上为凹的；当,0x b y ''>>，所以在区间),b +∞⎡⎣上为凸的；(),b a 为拐点 4、求,a b 的值，使点()1,3为曲线32y ax bx =+的拐点. 解：620y ax b ''=+=，()1,3代入得()()13,1620y a b y a b ''=+==+=得39,22a b =-=5、证明: 当 4x > 时 , 22x x >.解：令()()2ln 22ln ,ln 20,4f x x x f x x x'=-=->> ()f x ∴单增，又()()40,4,0f x f x =∴>>时，即22x x >6、设常数,,1,1,m n N m N ∈>>证明：0x >时，m x +>证明：令()f x m x =+ 从而()1111()1()n nnf x m nx m nx --'=-+=-+.,,1,1,m n N m N ∈>>0x >，11,0nm nx n-∴+><，10()1n nm nx -∴<+<()0f x '∴>，()0(0)f x x ∴>>，()10nf x m m ∴>->所以不等式成立.7、试确定曲线 32y ax bx cx d =+++ 中的系数,使点(2,44)-为驻点,点(1,10)-为拐点.解：232,62y ax bx c y ax b '''=++=+84244124010620a b c d a b c a b c d a b -+-+=⎧⎪-+=⎪⎨+++=-⎪⎪+=⎩得a=1,b=-3,c=-24,d=16§3.5 函数的极值与最大值最小值1、 设2()ln f x a x bx x =++ 在11x =, 22x =时取得极值,试确定a ,b ;并问()f x 在 1x ,2x 处取得极大值还是极小值?解：()21af x bx x'=++，令()10f '=，()20f '=得210,14102a b a b ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩得21,36a b =-=- ()2221233a f x b x x ''=-+=-，()()211110,203336f f ''''=-=>=-< 所以(1)f 为极小值，(2)f 为极大值 2、求y =的极值.解：先求()3231u x x x =-+的极值，()()32u x x x '=-驻点为10,x =22x =，又()()()66,060,260u x x u u ''''''=-=-<=> 所以10x =为极大值点，22x =为极小值点，()01y =为极大值，()2y =为极小值3、要设计一个容积是V 的圆柱形水池 , 已知底部的单位面积造价是侧面的一半, 如何设计, 才能使水池的造价最省?解：设水池的底面半径为r ，高为h ，底的单位面积造价为k ，22VV r h h r ππ=∴=总造价()222f r k r k rh ππ=+，r>0()242V f r k r r ππ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦,驻点为0r =由实际意义知当r =时水池造价最省.4、设火车每小时所耗燃料费用与火车速度的立方成正比 , 已知其速度为20km h 时 , 每小时的燃料费用为40元 , 其他费用每小时200元 , 求最经济的行使速度.解：设每小时所耗燃料费用3R kv =，120,40,,200v R k ∴==∴=从而31200R v =,设火车行驶S km 耗资W 元，依题意得()()30200,0200S V W V W V V V ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭令＝得由实际意义知此即为所求 1、填空题(1).211lim tan x xx x →⎛⎫- ⎪⎝⎭= _______1/3__________； (2).设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a = ______ ln2_________； (3).已知()()2cos ,0,,0,x x x f x K x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩在0x =处连续，则K =__12e -___；(4).设()f x '在0x x =连续，又()00lim 1x x f x x x →'=--，则0x x =是()f x 的 _________极大________值点；(5).曲线()sin 21xy x x =-的水平渐近线为_y=0_，垂直渐近线为__x=1/2 ；(6).当0x ≥时，()()ln 1,011xx xθθ+=<<+，则0lim x θ→=___1/2_ .2、选择题(1). 设()f x在[],a b连续，在(),a b可导，,a b是方程()0'=在(),a bf xf x=的两根，则()0【 B 】A. 只有一个实根B. 至少一个实根C. 没有实根D. 至少两个实根(2).已知0x→时，与n x为同阶无穷小，则n等于【C】A. 1B. 2C. 3D. 4 (3). 曲线2211x x e y e--+=-【 D 】A. 没有渐近线B. 只有水平渐近线C. 只有铅直渐近线D. 既有水平渐近线 ，又有铅直渐近线 (4). 若()30sin 6lim0,x x xf x x→+= 则()26limx f x x →+为【 C 】A. 0B. 6C. 36D. ∞ (5). 设函数()f x 满足关系式()()2f x f x x '''+=⎡⎤⎣⎦，且()00f '=，则 【C 】A. ()0f 是()f x 的极大值B. ()0f 是()f x 的极小值C. 点()()0,0f 是曲线()y f x =的拐点D. ()0f 不是()f x 的极值，点()()0,0f 也不是曲线()y f x =的拐点3、 计算题(1).设()()()()2112,cosln ,lim.x f x f x x x g x xg x →'=-='求 解：()()21111222222lim lim lim lim 21111ln sin ln ()lnx x x x f x x x x x g x xx x x x→→→→'---====-'--⋅-(2).设()(),0;0,0,g x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩且()()()000,02,g g g '''===求()0f '.解：()()()()()2000000lim lim lim 0x x x g x f x f g x x f x x x →→→--'===- =()()()()'00011lim lim 012202x x g x g x g g x x →→''-''===-(3).已知函数32y x lx mx n =+++在2x =-取得极值，并且它的图形与直线33y x =-+在点()1,0处相切，试求,,l m n 的值. 解：21240x yl m =-'=-+=，过点()1,0得10l m n +++=，又它的图形与直线33y x =-+在点()1,0处相切得1323x y l m ='=++=-，从而1,8, 6.l m n ==-=(4).求曲线()()sin ln ,0y x x x =>的凹凸区间和拐点的横坐标.解：sin ln cosln y x x '=+，11cosln sin ln ln 4y x x x x x x π⎛⎫''=-=-- ⎪⎝⎭， 当0ln 4x ππ<-<时，即5ln 44x ππ<<时，0;y ''<当ln 24x πππ<-<时，即59ln 44x ππ<<时，0;y ''>故曲线在()52244,,k k e e k Z ππππ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦凹；在()592244,,k k e e k Z ππππ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦凸。