上海市格致中学高二下学期期中数学试题一、单选题 1．给出下列命题（1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面； （2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面；（3）若直线a 与直线b 异面，直线b 与直线c 异面，那么直线a 与直线c 异面； （4）若直线a 与直线b 垂直，直线b 与直线c 垂直，那么直线a 与直线c 平行； 其中正确的命题个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】A【解析】根据空间直线与平面平行垂直的性质与判定逐个分析即可. 【详解】(1)如正四面体的任意一定点经过的三条棱均相交,但这三条直线异面.故(1)错误.(2)如直三棱柱的三条高均互相平行,但这三条直线异面.故(2)错误.(3)当a 与c 相交且,a c α⊂,b α⊥时可满足直线a 与直线b 异面,直线b 与直线c 异面,但直线a 与直线c 共面.故(3)错误.(4)同(3)可知(4)错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面平行垂直的判定,需举出反例证明结论不正确,属于基础题.2．在复数范围内，有下列命题：（1）若z 是非零复数，则z z -一定是纯虚数；（2）若复数z 满足22||z z =-，则z 是纯虚数；（3）若复数1z 、2z 满足22120z z +=，则10z =且20z =；（4）若1z 、2z 为两个虚数，则1212z z z z +一定是实数； 其中正确的命题个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【解析】(1)设(),,z a bi a b R =+∈再运算分析即可. (2)取0z =分析即可. (3)举出反例分析即可.(4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈再运算分析即可. 【详解】(1)设(),,z a bi a b R =+∈则()2z z a bi a bi bi -=+--=,当0,0a b ≠=时可知(1)错误.(2)取0z =满足22||z z =-,但z 不是纯虚数.故(2)错误. (3)当11z =、2z i =时也满足22120z z +=,故(3)错误.(4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈,则()()()()121222a bi c di a bi c di z z z a z c bd =+-+-+=++为实数.故(4)正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的运算运用,需要根据题意找到反例或者设复数的表达式计算分析.属于中档题.3．已知复数i z x y =+（,x y ∈R ）满足|2|z -=，则yx的最大值为（ ）A ．12B ．3C ．2D 【答案】D【解析】根据复数的几何意义求出复数i z x y =+的轨迹方程再根据yx的几何意义求解即可. 【详解】因为|2|3z -=,故()23x yi -+=,即()2223x y -+=.又yx的几何意义为(),x y 到()0,0的斜率.故当过原点的直线与()2223x y -+=切于第一象限时y x 取得最大值.此时设切线的倾斜角为θ则3sin θ=,易得3πθ=.故y x 的最大值为tan33π=.故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义与根据斜率的几何意义求解最值的问题.属于中档题.4．某课外定向小组在一次课外定向活动中要经过A 、B 、C 、D 、E 、F 六个打卡点，要求是：（1）地点A 必须在前三次完成，且在A 处打卡后需立即赶到地点E 打卡；（2）地点B 与地点C 不能相邻打卡，则不同的打卡顺序有（ ） A ．36种 B ．44种 C ．48种 D ．54种【答案】B【解析】根据题意可分地点A 分别在第1,2,3次打卡三种情况进行计算即可. 【详解】当地点A 在第1次打卡时, 地点E 在第2次打卡,又地点B 与地点C 不能相邻打卡,故此时有()22422312A A -⨯=种情况.当地点A 在第2次打卡时, 地点E 在第3次打卡, 又地点B 与地点C 不能相邻打卡,故此时有12222222316A A A A ⨯⨯+⨯=种情况.当地点A 在第3次打卡时, 地点E 在第4次打卡, 又地点B 与地点C 不能相邻打卡,故此时有1122222216C C A A =种情况.故共有12+16+16=44种情况. 故选：B 【点睛】本题主要考查了排列组合的综合问题,需要根据题意分三种情况进行求解,根据题中的特殊元素满足的条件分析即可.属于中档题. 二、填空题5．设复数z 满足()132i z i +=-+,则z =_________. 【答案】13i -.【解析】利用复数的运算法则首先可得出z ，再根据共轭复数的概念可得结果. 【详解】∵复数z 满足()132i z i +=-+， ∴32123iz i i-++==+，∴13z i =+， 故而可得13z i =-，故答案为13i -. 【点睛】本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．6．已知点(2,1)A --、(2,5)B ，直线:360l x ay +-=上点C 满足AC CB =，则直线l 的倾斜角大小为________ 【答案】135°【解析】先求出点C 的坐标,再代入直线:360l x ay +-=求解方程进而求得斜率与直线l 的倾斜角即可. 【详解】因为AC CB =,故C 为(2,1)A --、(2,5)B 的中点2215,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭,即()0,2C . 又直线:360l x ay +-=上有点C ,故02603a a +-=⇒=. 故直线l 的斜率313k =-=-.故倾斜角为135°. 故答案为：135° 【点睛】本题主要考查了向量的应用与直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题. 7．设集合*1{|i ,}in n Z z z n ==+∈N （i 是虚数单位），则集合Z 中所有元素的和为________ 【答案】0【解析】根据复数n i 的周期性求出集合Z 中所有的元素再求和即可. 【详解】因为1i i =,21i =-,3i i =-,41i =,5...i i =故n i 周期为4,所以1i i n nz =+周期也为4.又10i i i i +=-=,221112i i +=--=-,3310i i i i +=-+=,441112i i +=+=. 故{}0,2,2Z =-.所以集合Z 中所有元素的和为0. 故答案为：0【点睛】本题主要考查了n i 的周期性运用,属于基础题.8．点A 是圆22450x y ax y +++-=上的一点，且点A 关于直线210x y +-=的对称点也在此圆上，则实数a =________ 【答案】10-【解析】根据圆的对称性可知A 与点A 关于直线210x y +-=的对称点均在圆上,故直线210x y +-=经过圆心,再代入圆心计算即可. 【详解】由题意,A 与点A 关于直线210x y +-=的对称点均在圆上,故直线210x y +-=经过圆心,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故410102aa ---=⇒=-. 故答案为：10- 【点睛】本题主要考查了圆的对称性的运用,属于基础题.9．已知两平行线直线分别过点(2,2)P --、()1,3Q ，设此两平行直线之间的距离为d ，则d 的取值范围为________ 【答案】【解析】根据极限的思想分析,当两平行线无限接近于重合,即过两条直线均过(2,2)P --、()1,3Q 时距离最小；距离最大时d 为(2,2)P --、()1,3Q 之间的距离. 【详解】由题意,当两平行线无限接近于重合时距离d 无限接近于0,距离最大时两条平行线均与直线PQ 垂直,此时d 为(2,2)P --、()1,3Q 之间的距离()()22212334--+--=.故答案为：(0,34]【点睛】本题主要考查了极限的思想在解决平面直线距离中的运用,属于中题.10．在平面直角坐标系中，不等式组1010310x yxx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积是________.【答案】2【解析】作出不等式组所表示区域的图形，计算面积即可求解. 【详解】作可行域如图：由11xx y=⎧⎨+=⎩可得(1,0)C，1310xx y=⎧⎨-+=⎩可得(1,4)B，10310x yx y+-=⎧⎨-+=⎩解得(0,1)A，三角形区域面积为：14122⨯⨯=.故答案为：2【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的区域，三角形面积的计算，属于中档题.11．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】[)1,5(5)⋃∞，+【解析】直线1y kx ＝+过定点(0,1)在椭圆2215x y m+=外部，再根据椭圆定义得到5m ≠，综合得到答案. 【详解】直线1y kx ＝+过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆2215x y m+=外部即可,从而m 1≥，又因为椭圆2215x y m+=中5m ≠，所以m 的取值范围是[)1,5(5)⋃∞，+. 故答案为：[)1,5(5)⋃∞，+ 【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系，确定直线过定点是解题的关键. 12．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _________．【答案】18 【解析】由频率=频数样本容量以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出 总的人数，求出第三组的人数. 【详解】由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，设总的人数为n,则200.240.160.4,50.n n=+=∴=所以第3小组的人数 为500.36=18⨯人. 故答案为18 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.13．已知(,)P x y 是椭圆2212516x y +=上的动点，则4354x y +的最大值为________【答案】5【解析】根据参数方程的方法求解即可. 【详解】因为(,)P x y 是椭圆2212516x y +=上的动点,故可设(5cos ,4sin )P θθ, 故()434cos 3sin 5sin 54x yθθθϕ+=+=+,其中43sin ,cos 55ϕϕ==. 故4354x y +的最大值为5. 故答案为：5 【点睛】本题主要考查三角换元求函数最值的方法,属于中档题.14．如图所示电路中，开关A 、B 、C 断开的概率分别是0.3、0.2、0.1，且开关A 、B 、C 断开是相互独立的，则此电路连通的概率为________【答案】0.686【解析】由题可知当此电路连通时开关A 联通,,B C 至少有一个连通时线路是连通的,再利用分步原理计算即可. 【详解】由题得当此电路连通时开关A 联通,,B C 至少有一个连通. 故概率为()()10.310.20.10.70.980.686-⨯-⨯=⨯=. 故答案为：0.686 【点睛】本题主要考查了概率的实际运用,需要根据题意分析到连通时满足的情况再求解,属于基础题.15．如图，质点M 从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过AB ，第二次运动经过BC ，第三次运动经过1CC ，且对于任意的正整数n ，第2n +次运动所经过的棱与第n 次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2019次运动后，点M 到达的顶点为________点【答案】1C【解析】由题意设第n 次运动前起始点为A ,分析第2n +次运动后所在的位置与A 的位置关系即可. 【详解】由题,不妨设第n 次运动前质点在点A 处.则第n 次运动经过的AB 或AD ,当第n 次运动经过AB 时,第1n +次运动经过1BB 或BC .又第2n +次运动所经过的棱与第n 次运动所经过的棱所在的直线是异面直线,故第2n +次运动只能经过11B C 或1CC .即第2n +次运动后只可能在1C 处.同理当第n 次运动经过AD 时也有第2n +次运动后只可能在1C 处.故从A 开始第3次运动后必定在1C .第6次运动后必定回到A ,即6次运动为一个周期.又20196336...3÷=,故经过2019次运动后与经过3次后的位置相同,即1C 处. 故答案为：1C 【点睛】本题主要考查了异面直线的性质与推理判断的问题.需要根据题意分析前几次运动的规律找到运动的周期性进行分析,属于中档题. 三、解答题16．正八边形12345678A A A A A A A A 的中心为O ，从向量i OA （1,2,,8i =⋅⋅⋅）中任取两个不同向量m OA 、n OA （,{1,2,3,4,5,6,7,8}m n ∈，m n ≠），则使得0m n OA OA ⋅=的概率等于___【答案】27【解析】根据图像的对称性可先任意选一个向量对应的概率相等,再分析选另一个向量使得0m n OA OA ⋅=的概率即可. 【详解】由题,可分两步选取m OA 、n OA ,第一步先选取m OA ,此时8个向量iOA （1,2,,8i =⋅⋅⋅）被选取的概率相同,故任意选一个向量后再选一个向量使得0m n OA OA ⋅=的概率即为“任取两个不同向量m OA 、nOA （,{1,2,3,4,5,6,7,8}m n ∈,m n ≠）,则使得0m n OA OA ⋅=”的概率.不妨设第一次选取的向量为1OA ,则剩下的7个向量中仅有37,OA OA 满足.故概率为27故答案为：27【点睛】本题主要考查了分步计数求解概率的方法,属于基础题.17．设1201211()2n n n n n n x a x a x a x a x a ---+=+++⋅⋅⋅++（*n ∈N ）.（1）若0a 、1a 、2a 成等差数列，求n 的值；（2）设0121n n n A a a a a a -=+++⋅⋅⋅++，求21lim 32n n n nn A →∞++的值.【答案】（1）8n =；（2）1.【解析】(1)根据二项展开式的通项公式求出0a 、1a 、2a 再根据等差数列的性质求解即可.(2)令1x =即可得n A ,再根据数列的极限求解21lim 32n n n nn A →∞++即可. 【详解】(1)由题, 001na C ==,111122nn C a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,()2221128n n n a C -⎛⎫== ⎪⎝⎭.又0a 、1a 、2a 成等差数列,故()212198028n n nn n -⨯=+⇒-+=.显然1n ≠故8n =. (2)令1x =可得012113122n nn n n A a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故312113123lim lim lim 13232213nnnn n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⋅++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了二项式定理求项的系数关系的方法与数列的极限求解.属于中档题.18．如图，点A 在平面α外，△BCD 在平面α内，E 、F 、G 、H 分别是线段BC 、AB 、AD 、DC 的中点.（1）求证：E 、F 、G 、H 四点在同一平面上；（2）若6AC =，8BD =，异面直线AC 与BD 所成角为60°，求EG 的长.【答案】（1）证明见解析；（2.【解析】(1)证明四边形EFGH 为平行四边形,即可.(2)由(1)四边形EFGH 为平行四边形,再根据中位线关系求出,EF FG 的长,再利用解三角形的方法求解EG 的长即可. 【详解】(1)因为E 、F 、G 、H 分别是线段BC 、AB 、AD 、DC 的中点.故//FG BD 且12FG BD =,同理//EH BD 且12EH BD =,故//FG EH 且FG EH =.故四边形EFGH 为平行四边形.故E 、F 、G 、H 四点在同一平面上 (2) 由(1)四边形EFGH 为平行四边形,且142FG BD ==,132FE AC ==.又异面直线AC 与BD 所成角为60°,故,FG FE 所成角为60°,故60GFE ∠=︒或120︒.当60GFE ∠=︒时,2222cos60251213EG FE FG FE FG =+-⋅︒=-=. 此时EG =当120GFE ∠=︒时,2222cos120251237EG FE FG FE FG =+-⋅︒=+=. 此时EG =所以EG【点睛】本题主要考查了点共面的证明与根据线线角和余弦定理求解线段长度的问题,需要注意线线角为60°则夹角可能为60︒或120︒两种情况.属于中档题. 19．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数） 【答案】（1）75；（2）65；（3）1318. 【解析】(1)易得可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人.再用组合的方法求解即可.(2)先求得不考虑必须男女医生的总情况数,再减去只有男医生的情况数即可. (3)先计算男医生甲与女医生乙被同时选中的概率,再用1去减计算即可. 【详解】(1)由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人,共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种,其中只有男医生的情况数有455C =,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为375935512618C C ==.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率为51311818-=. 【点睛】本题主要考查了组合的实际运用题,需要根据题意分析特殊元素满足的条件求解.同时在事件的正面情况数较多的情况下可以考虑先求事件的对立事件.属于中档题.20．已知抛物线2:4x C y =的焦点为F ，直线:240l x y --=，点(1,2)P ，M是抛物线C 上的动点.（1）求||||MP MF +的最小值及相应点M 的坐标； （2）点M 到直线l 距离的最小值及相应点M 的坐标；（3）直线l '过点P 与抛物线C 交于A 、B 两点，交直线l 于Q 点，若QA a AP =，QB bBP =，求+a b 的值.【答案】（1）3，1(1,)4；（2）75，1(1,)4；（3）0.【解析】(1)根据抛物线的定义转换线段关系求解即可.(2)设2,4t M t ⎛⎫⎪⎝⎭再求出点到线的距离公式分析最值即可.(3)设直线l '方程为2(1)y k x -=-,再联立直线l '与抛物线和:240l x y --=,分别表示出,,Q A B 的坐标,再根据QA a AP =,QB bBP =表达出+a b 再代入韦达定理化简即可. 【详解】(1) 作MN 垂直于准线于N ,则||||=||||MP MF MP MN ++,由图易得当直线PM x ⊥轴时||||MP MF +取得最小值213+= ,此时M 与(1,2)P 横坐标相同,此时11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭.即当11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭时||||MP MF +取得最小值3.(2) 设2,4t M t ⎛⎫ ⎪⎝⎭则点M 到直线:240l x y --=距离2224212t t d --=+ 2228172525t t t -+-+==.当1t =时取最小值751025=. 故当11,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭时M 到直线l 距离的最小值取7510.(3)显然直线l '有斜率,设直线l '方程为2(1)y k x -=-.()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y .联立22(1)4y k x x y -=-⎧⎪⎨=⎪⎩24480x kx k ⇒-+-=.则12124,48x x k x x k +==-. 02(1)2824021y k x k x x y k -=-⎧-⇒=⎨--=-⎩. 又QA a AP = ,故()1011x x a x -=-,故1011x xa x -=-,QB bBP =,故()2021x x b x -=-,故2021x x b x -=-. 所以()()()120121210201212221111x x x x x x x x x x x a b x x x x +-++---+=+=----. 又()()()1201212282242424821k x x x x x x x k k k k -+-++-=-+--- 41648160k k k =-+-+=.故0a b +=【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求线段和的最小值问题与抛物线上的点到线的距离的最小值问题.同时也考查了联立直线与抛物线的方程,再利用韦达定理表达所给的解析式进行化简求解的问题.属于难题.。