河北南宫中学2016届高三5月第三次模拟考试（石家庄二模）数学（文）试题（图片版）2016年石家庄市第二次模拟考试试题答案（数学文科）一、选择题1-5 BAACB 6-10CBADD 11-12AC 二、填空题13. 45 14. 3815. 6 16. 62或-三、解答题17.（I ）由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===可得： 2s i n =32s i n c o R A R B C ⨯ …………………1分A B C π++= sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+， -------------------------3分即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +cos sin =2sin cos B C B C ∴ c o s s i n=2sin cos B C B C∴故tan =2tan CB． -------------------------5分 （II ）（法一）由A B C π++=得tan()tan()3B C A π+=-=-, 即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯, 将tan 2tan C B =代入得：23t a n312t a nB B =--，-------------------------7分解得tan 1B =或1tan 2B =-， 根据tan 2tanC B =得tan tan C B 、同正， 所以tan 1B =,tan 2C =. ……………………8分则tan 3A =，可得sin sin sin 2510B C A ===，∴b =-------------------------10分所以11sin 3322ABC S ab C ∆==⨯=.-------------------------12分 （法二）由A B C π++=得tan()tan()3B C A π+=-=-,即tan tan 31tan tan B C B C +=--⨯, 将tan 2tan C B =代入得：23t a n312t a nB B =--，-------------------------7分 解得tan 1B =或1tan 2B =-，根据tan 2tan C B =得tan tan C B 、同正， 所以tan 1B =,tan 2C =． ………………………8分 又因为3cos 3a b C ==所以cos 1b C =， ∴cos 3ab C =cos tan 6ab C C ∴=． -------------------------10分11sin 6322ABC S ab C ∆∴==⨯=．-------------------------12分…………………4分（填错一个数，扣2分，错两个以上扣4分）22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++2209551= 3.8101010146⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯（） 2.706> 所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为此项血液指标与性别有关系. ………………6分（2）由茎叶图可得该样本中此项血液指标偏高的人数为6，其中男性1人，女性5人. 用a 表示男性，i b 表示女性（1,2,3,4,5)i =.则抽取的方式为{}1,a b ，{}2,a b ，{}3,a b ，{}4,a b ，{}5,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}14,b b ，{}15,b b ，{}23,b b ，{}24,b b ，{}25,b b ，{}34,b b ，{}35,b b ，{}45,b b .共15种情况.………………8分其中男性和女性均被抽到的情况有{}1,a b ，{}2,a b ，{}3,a b ，{}4,a b ，{}5,a b 共5种情况.…………10分所以男性和女性均被抽到的概率为13.…………………12分 19.解析：（1）在矩形ABCD 中，:AB BC =，且E 是AB 的中点， ∴tan ∠ADE =tan ∠CAB =………………1分 ∴∠ADE =∠CAB ,∵∠CAB +∠DAC 90= ,∴∠ADE +∠DAC 90=,即AC ⊥DE .…………3分由题可知面PAC ⊥面ABCD ，且交线为AC ，∴DE ⊥面PAC .…………5分（2）作DC 的中点G ， GC 的中点H ，连结GB 、HF .……………6分 ∵DG ∥EB ，且DG =EB ∴四边形EBGD 为平行四边形，∴DE ∥GB∵F 是BC 的中点，H 是GC 的中点，∴HF ∥GB ，∴HF ∥DE .…………8分 作H 作HM ∥PD 交PC 于M ，连结FM ，∵HF ∥DE ,HM ∥PD ，∴平面HMF ∥平面PDE ，∴FM ∥平面PDE .………10分由HM ∥PD 可知：∴3PM DHMC HC==…………12分20.解：（1）120000(,)(,)DF DF c x y c x y ∙=----- 22222220002c x c y x b c a=-+=+-，………2分因为2200x a ≤≤，所以当220x a =时，12DF DF ∙ 得最大值2b (3)分所以224a b =,故离心率2e =4分（2）由题意知1b =，可得椭圆方程为：2214x y +=， 设1122(,),(,),(,)B x y C x y H x y 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=， 122814kmx x x k -+=+，21224(1)14m x x k-=+ ……………………………6分由0AB C ∙=A 得：1212(1)(1)0x x y y +--=即221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=，……………………………8分将韦达定理代入化简可得：35m =-……………………………10分 所以动直线l 的方程为：35y kx =-，即直线恒过定点3(0,)5-……………12分21.解析：（Ⅰ）当1a =时，()(1)(1)x f x e x =--，(1)0f =，(1)1f e '=- 所以在(1,(1))f 处的切线方程是(1)(1)y e x =--…………2分 所证问题等价于(1)(1)(1)(1),(1)xe x e x x -->--≠…………3分 即()(1)0,(1)xe e x x -->≠当1x >时，0,10,()(1)0xxe e x e e x ->->--> 当1x <时0,10,()(1)0xxe e x e e x -<-<--> 命题得证！…………5分（Ⅱ）证明：当0a =时，1()ln 0,(0)f x x x x e++>> 等价于1(1)ln 0x e x x x e -++>即1(1)ln xe x x x e ->--，…………6分令1()(1),()ln xp x e x q x x x e=-=--()(1)10,x p x e x '=+-> ()y p x =单调递增，()(1)(0)0x p x e x p =->=…………8分又()ln 1q x x '=--,1(0,),()0,x q x e'∈>()y q x =单调递增；1(,),()0,x q x e'∈+∞<()y q x =单调递减；1()()0q x q e≤=，…………11分所以1(1)ln xe x x x e->--，命题得证.…………12分选做题 22．（I ）证明： 在O 中，弦AC BF 、相交于E ，FE EB AE EC ∴⋅=⋅，又E 为AC 的中点，所以2FE EB AE ⋅=，-------------------------2分 又因为OA AD ⊥,OE AE ⊥，根据射影定理可得2AE DE EO =⋅,-------------------------4分∴DE EO FE EB ⋅=⋅， ------------------------5分（II ）因为AB 为直径，所以0=90C ∠，又因为o45CBE ∠=，所以BCE ∆为等腰直角三角形． ………………6分2AC BC ∴=，根据勾股定理得222580AC BC BC +==，解得4BC =，-------------------------8分所以42AE OE ==，，由（I ）得2AE DE EO =⋅所以8DE =，所以AD = ------------------------10分23解：（I ）由2cos ρθθ=，得22cos sin ρθθ=，………………2分∴曲线1C 的直角坐标方程为2x ， -----------------------------------4分（II ）将=3πα代入22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩得(1P ，由题意可知切线AB 的倾斜角为56π， --------------------------6分 设切线AB的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2x =得：21(1))2t =，即232042t --=， --------------------------8分 设方程的两根为1t 和2t可得：12t t +=所以12||||2t t MP +==分 24解：（I ）()|||||()()|f x x a x b x a x b a b =--+≤--+=+，--------------------------2分 所以()f x 的最大值为a b +，3a b ∴+=,--------------------------4分（II ）当x a ≥时，()||||=()f x x a x b x a x b a b =--+--+=--=-， --------------------------6分对于x a ∀≥，使得()()g x f x <等价于x a ∀≥，max ()3g x <-成立，()g x 的对称轴为2ax a =-<， ∴()g x 在[,)x a ∈+∞为减函数，()g x ∴的最大值为222()23g a a a b a a =---=-+-，--------------------------8分2233a a ∴-+-<-，即220a a ->，解得0a <或12a >， 又因为0,0,3a b a b >>+=，所以132a <<．--------------------------10分。