北京市人大附中高三数学尖子生专题训练：导数及其应用I 卷一、选择题1．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x 【答案】A2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D3． 曲线y=x+ln x 在点（2e ,2e +2)处的切线在y 轴上的截距为（ ）A ．1B ．-1C ． 2eD ．- 2e【答案】A4．曲线x x y 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( )A ．34π B ．2π C ．4π D ．6π 答案：A 5．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ）A ．－1B ．－2C ．－1D ．21 【答案】A 6． 已知()(3)2,32,f f ¢==-则323()lim3x x f x x ®--的值为 ( ）A ． －4B ． 0C ． 8D ． 不存在【答案】C 7． 设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( ） A ．2B ． 2-C ． 12-D ． 12【答案】B8．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不．是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．⎣⎡⎭⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎡⎭⎫32，2【答案】B9．设函数，其中，则导数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 10．设函数ax x x f m +=)(的导函数是12)(+='x x f ，则数列})(1{n f )(*N n ∈的前n 项和为（ ） A ．21++n n B ．1+n n C ．12++n n D ．nn 1+【答案】B11．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 【答案】C 12．已知(),()]f x g x 在[m,n 上可导，且()()f x g x ''<，则当m x n <<时，有( ）A ．()()f x g x <B ．()()f x g x >C ．()()()()f x g n g x f n +<+D ．()()()()f x g m g x f m +<+【答案】C13． 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）A ． sin αB ． cos αC ． sin cos αα+D ． 2sin α【答案】A14．设函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，则lim x →－1 f ′(x )x ＋1等于( ) A ．6B ．2C ．0D ．－6【答案】DII 卷二、填空题 15． 函数f (x )＝ex1－x ＋ex1＋x 在x ＝2处的导数为________． 【答案】0 16． 若函数y ＝f (x )在R 上可导且满足的不等式xf ′(x )＞－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式不一定成立的是________．(填序号) ①af (b )＞bf (a )；②af (a )＞bf (b )；③af (b )＜bf (a )． 【答案】①③ 17．设111,exm e dx n dx x==⎰⎰，则m 与n 的大小关系为 。

【答案】18．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 【答案】4019． 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使体积为最大，则其高应为____________.【答案】3320 20．已知函数3221()(21)13f x x x a x a a =++-+-+，若()0f x '=在（0，2上有解，则实数a 的取值范围为 。

【答案】7122a -≤<三、解答题 21．已知函数2()2()f x x x alnx a R =++∈．(1）当4a=-时，求()f x 的最小值;(2）若函数()f x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数a 的取值范围; (3）当1t≥时,不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立,求实数a 的取值范围．【答案】（1） 当4a=-时, 2()24ln f x x x x =+- 2(2)(1)()x x f x x+-'=当1x =时 函数()f x 取最小值3．(2） 222()(0)x x a f x x x++'=> 设222g(x)=x x a ++依题意 00(1)0g()g ≥≤或 得 04a a ≥≤-或． (3） 当1t≥时 (21)2()3f t f t -≥-恒成立⇔ 当1t ≥时 2221242ln0t t t a t --++≥ 恒成立 设2221()242lnt g t t t a t-=-++ 则 []1()2(1)222(21)(21)(21)a t g t t t t a t t t t ⎡⎤-'=--=--⎢⎥--⎣⎦1(1)1t t t ≥∴-≥(1）当2a ≤时，1()0tg t '≥≥则 ()g t 在[)1,+∞单调递增1()(1)0t g t g ∴≥≥=时(2）当2a >时，设()2(21)h t t t a =--(1)20h a =-< ()0h t = 有两个根，一个根大于1，一个根小于1．不妨设 121t t <<当()21,t t ∈时 ()0h t < 即()0g t '< ()g t ∴在()21,t 单调递减 ()(1)0g t g <=不满足已知条件．综上:a 的取值范围为{}2a a ≤．22．已知曲线 y = x 3+ x －2 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x －y －1=0，且点 P 0 在第三象限,⑴求P 0的坐标; ⑵若直线 1ll ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.【答案】⑴由y =x 3+x －2，得y ′=3x 2+1，由已知得3x 2+1=4，解之得x =±1.当x =1时，y =0;当x =－1时，y =－4. 又∵点P 0在第三象限,∴切点P 0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l 的方程为14(1)4y x +=-+即4170x y ++=. 23．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a(a ∈R 且a ≠0)，试求函数f (x )的极大值与极小值． 【答案】由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax (x －2a)．令f ′(x )＝0，解之得x ＝0或x ＝2a．当a >0时，随x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f (2a )＝－4a 2－3a＋1.当a <0时，随x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f (2a )＝－4a 2－3a＋1.综上，当a ∈R ，且a ≠0时，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f (2a )＝－4a 2－3a＋1.24．已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈.(Ⅰ）当0a <时，求函数()f x 的最小值；(Ⅱ）若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； (Ⅲ）求证：()2,1ln 44ln 33ln 22ln ≥∈<⋅⋅⋅⋅n N n n n n .【答案】（Ⅰ）当1x =时，函数()f x 的最小值3a -- (Ⅱ）/(2)1,22af a =-==-由 32/2()2ln 23()(2)2, ()3(4)22f x x x mg x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/()0g x =得，2(4)240m ∆=++>故/()0gx =两个根一正一负，即有且只有一个正根函数()32/[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>∴237, (4)233m m t t >-+<-故243m t t +<-，而23y t t=-∈在t [1,2]单调减 ∴9m <-，综合得3793m -<<-(Ⅲ）令1,a =-此时()ln 3f x x x =-+-∴(1)2f =-25．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ， a , b ∈R ．(Ⅰ) 曲线C ：y ＝f (x ) 经过点P (1，2)，且曲线C 在点P 处的切线平行于直线y ＝2x ＋1，求a ，b 的值；(Ⅱ) 已知f (x )在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0＜a ＋b ＜2． 【答案】(Ⅰ))(x f '＝22x ax b ++，由题设知：1(1)2,3(1)122,f a b f a b ⎧=++=⎪⎨⎪'=++=⎩ 解得2,37.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(Ⅱ)因为()f x 在区间(1,2)内存在两个极值点 ，所以()0f x '=，即220x ax b ++=在(1,2)内有两个不等的实根．故2(1)120,(1)(2)440,(2)12,(3)4()0.(4)f a b f a b a a b '=++>⎧⎪'=++>⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎩由(1)+(3)得0a b +>.由（4）得2a b a a +<+，因21a -<<-，故2211()224a a a +=+-<，从而2ab +<. 所以02a b <+<． 26．函数R ,2)1ln()(2∈-++=b x x b x x f (I ）当23=b 时，求函数)(x f 的极值； (II ）设x x f x g 2)()(+=，若2≥b ，求证：对任意),1(,21+∞-∈x x ，且21x x ≥，都有)(2)()(2121x x x g x g -≥-.【答案】（1）当23=b 时，,2)1ln(23)(2x x x x f -++=函数定义域为（+∞-,1）且),1(2)1(232)('->-++=x x x x f令02)1(232=-++x x ，解得211-=x 或212=x 当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：所以当21-=x 时，2ln 2345)21()(-=-=f x f 极大值，当21=x 时，23ln 2343)21()(+-==f x f 极小值；(2）因为x x b x x f 2)1ln()(2-++=，所以)1(122212)('2->+-+=-++=x x b x x b x x f ，因为2≥b ，所以0)('≥x f （当且仅当0,2==x b 时等号成立），所以)(x f 在区间),1(+∞-上是增函数，从而对任意),1(,21+∞-∈x x ，当21x x ≥时，)()(21x f x f ≥，即22112)(2)(x x g x x g -≥-， 所以)(2)()(2121x x x g x g -≥-.27．已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >。