导数专题复习（基础精心整理）学生版【基础知识】1.导数定义：在点处的导数记作k =相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-2.常见函数的导数公式:①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。

3.导数的四则运算法则：（1） （2） （3）4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性：①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。

（3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x +∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x→∆'=∆V 。

例1..已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）A. 41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3D ．1二、导数的几何意义()f x 0x xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a=xx 1)(ln '=)()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ⇒>')(0)(x f x f ⇒<')(0)(x f x f ⇒≡')(x f '0)(='x f函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。

特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是0()f x '；（3）公切线的问题 例2. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4.∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x ∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 例3．(2016年全国Ⅱ)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．【解析】设y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为11(,ln 2)x x + 和22(,ln(1))x x +．则切线分别为1111ln 2()y x x x x --=-，2221ln(1)()1y x x x x -+=-+， 化简得111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111xy x x x x =++-++， 依题意，()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，从而1ln 11ln 2b x =+=-． 变式训练（1）设函数32()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

y kx b =+ln 2y x =+ln(1)y x =+b =（1）求,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性。

变式训练（2）若函数ax x x g x x f +==2)(ln )(与的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则实数=a 三、单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性：①若()0f x '>,则()f x 为增函数；若()0f x '<,则()f x 为减函数；若()0f x '=恒成立,则()f x 为常数函数；若()f x '的符号不确定,则()f x 不是单调函数。

②若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。

（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求()f x '；（2）求方程()0f x '=的根，设根为12,,n x x x L ；（3）12,,n x x x L 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断()f x '的符号，由此确定每一子区间的单调性。

例4 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围. 【解题思路】解这类题时,通常令'()0f x ≥(函数()f x 在区间[,]a b 上递增)或'()0f x ≤(函数()f x 在区间[,]a b 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：2()31f x ax '=+Q 又()f x 在区间[－1,1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即213a x ≥-在xt [－1,1]的最大值为13- 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1[,]3-+∞变式训练（1）设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______ 变式训练（2）设函数cx bx ax x f ++=23)(在1,1-=x 处有极值，且2)2(=-f ，求)(x f 的单调区间变式训练（3）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式，（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围四、函数的极值：（1）定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x <，就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值。

记作y 极大值＝0()f x ，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x >，就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值。

记作y 极小值＝0()f x 。

极大值和极小值统称为极值。

（2）求函数()y f x =在某个区间上的极值的步骤：（i ）求导数()f x '；（ii ）求方程()0f x '=的根0x ；（iii ）检查()f x '在方程()0f x '=的根0x 的左右的符号：“左正右负”⇔()f x 在0x 处取极大值；“左负右正”⇔()f x 在0x 处取极小值。

特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围． 解：)14()1(41)(2++++='a x a x x f .（Ⅰ）∵ ()f x '是偶函数，∵ 1-=a . 此时x x x f 3121)(3-=，341)(2-='x x f ， 令0)(='x f ，解得：32±=x . 列表如下：可知：()f x 的极大值为34)32(=-f ， ()f x 的极小值为34)32(-=f . （Ⅱ）∵函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，∴21()(1)(41)04f x x a x a '=++++≥，在给定区间R 上恒成立判别式法 则221(1)4(41)204a a a a ∆=+-⋅⋅+=-≤， 解得：02a ≤≤.综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a .变式训练（1）函数1)1(32+-=x y 的极值点是 ( )A 、极大值点1-=xB 、极大值点0=xC 、极小值点0=xD 、极小值点1=x ； 变式训练（2）已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是_____；变式训练（3）函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为__ 五、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。