【考情解读】
导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查：
一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；
二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题；
三是应用导数解决实际问题．
【知识梳理】
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是．
注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：．
2．导数与函数单调性的关系
(1)()
'>0是f(x)为增函数的条件．
f x
如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0．
(2)()
'≥0是f(x)为增函数的条件．
f x
当函数在某个区间内恒有()
'＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调
f x
性．
注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件．
3． 函数的极值与最值
(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．
(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．
(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ．
4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则
(1)(sin x )′＝ ；
(2)(cos x )′＝ ；
(3)(e x )′＝ ；
(4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)；
(5)(x a )′＝ ；
(6)(log e x )′＝ ；
(7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)；
(8)′＝ ；
(9)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤
f (x )
g (x )′＝ (g (x )≠0) ．
【预习练习】
1．曲线y＝
sin x
sin x＋cos x
－
1
2在点M⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
4，0处的切线的斜率为________．
2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值为______．
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab 的最大值等于_______．
【典型例题】
考点一导数几何意义的应用
例1过点(1,0)作曲线y＝e x的切线，则切线方程为________．
变式训练：
(1)直线y＝kx＋b与曲线y＝ax2＋2＋ln x相切于点P(1,4)，则b的值为_____．
(2)若曲线f(x)＝x sin x＋1在x＝π
2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0垂直，则实
数a＝______．
考点二利用导数研究函数的性质
例2已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax．
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值．
变式训练：
设函数f(x)＝x3－kx2＋x (k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k<0时，求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M．
考点三利用导数解决与方程、不等式有关的问题
例3已知函数f(x)＝e x，x∈R．
(1)求f(x)的反函数y＝ln x的图象上点(1,0)处的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝1
2x
2＋x＋1有唯一公共点；
考点四利用导数求函数的极(最)值
例4 设f(x)＝a ln x＋1
2x＋
3
2x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的
切线垂直于y轴．
(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．【课后练习】
1．函数y＝1
2x
2－ln x的单调递减区间为________．
2．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k=________．
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，
(2,0)，如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是________．①当x
＝3
2时，函数f(x)取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时，函数
f(x)取得极小值；④当x＝1时，函数f(x)取得极大值．
4．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝_______. 5．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2(其中x∈R，a，b为常数)．已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l，则a，b的值分别为________．
6．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
7．已知函数f(x)＝－1
2x
2＋4x－3ln x在上不单调，则t的取值范围是_______．
8．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
9．已知函数f(x)＝x2
e，g(x)＝2a ln x(e为自然对数的底数)．
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值；
(2)是否存在正常数a，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该
公共点处有共同的切线？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由．
10．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
⎩⎪⎨⎪⎧ 10.8－130x 2 (0<x ≤10)，108x －1 0003x 2 (x >10).
(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的
函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？。