外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
角速度w 单位：rad/s (弧度/秒)
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材料力学－第4章 扭转
TR IP
T IP
T WP
R
其中：
WP
d3
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称为抗扭截面系数
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
空心圆轴的扭转计算
空心圆轴与实心圆轴的扭转，变形本质并无不 同，因此应力和变形计算公式均相同。唯一不同在 于极惯性矩的计算。
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章 扭转
1
材料力学－第4章 扭转
内容提纲：
• 概述及示例 • 外力偶矩、扭矩和扭矩图 • 圆轴扭转横截面上的应力 • 圆轴扭转破坏与强度条件 • 圆轴扭转变形与刚度条件 • 扭转静不定问题 • 非圆截面轴扭转 • 薄壁杆扭转
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材料力学－第4章 扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章 扭转
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
基本概念：
扭转： 横截面绕轴线作相对旋转的变形形式 扭转角： 横截面间绕轴线的相对角位移 轴： 以扭转变形为主要变形的直杆 作用面垂直于杆轴的外力偶，称为扭力偶， 其矩称为扭力偶矩。
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材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
8
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
——圆轴扭转的平截面假定 即：圆轴横截面如同刚性平面绕圆轴线转动
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
ρ R
A
dx O
d
B
B´
C
D
D´
变形
O ’
()
G
G
d
dx
A
B
B´
应变特征 应力分布
C
D D
G G BB ´ G Rd
AB dx
应力公式
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
均相同
max
G
d
dx
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
静力平衡关系 横截面上分布的剪应力的合
力（主矢）等于零 剪应力关于原心O的合力矩应
该等于该截面上的扭矩T，即
A dA T
dA
T
O
dA
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
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材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
扭转时的内力——扭矩、扭矩图
• 杆件在外力偶矩的作用下发生扭转变形，同时在轴内 产生抵抗扭转变形的内力偶矩T，称为扭矩
• 扭矩T的计算仍采用截面法
假想截面m-m将杆件分为 两部分，根据平衡关系，有
T=M
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材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 扭矩符号的规定
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角 速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算 公式为
Me
9549
PkW nr /min
Me
7024
P马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s
2M e
m Me m
T Me
m
Me 截面法：
1.在所研究平面处假想截开
Me 2.根据平衡关系确定截面（弯） 扭矩
3.根据定义，确定（弯）扭矩正
负
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材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，画出其扭矩图
T1 M e
T
Me
T2 M e
x
Me
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
该圆环对圆心的微惯性矩为：
2dA 2 2d 23d
2dA
O
积分可得整个圆截面的极惯性矩：IP 源自d /2 2 3d d 4
0
32
25
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
总结 － 实心圆轴
圆轴扭转变形公式
d T
dx GIP
圆轴扭转切应力
T
IP
其中
IP
d4
32
最大切应力： max
扭转圆轴不同平面上的应力分布
dx
O
O
’
R
A
B
C
D
max
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
横截面上半径为 处的剪应力为
G
G
d
dx
max
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
• 剪力方向垂直于半径（由于剪切变 形发生在垂直于半径的平面内）
• 圆轴截面上的剪应力与 成正比
• 剪应力在圆轴边缘达到最大 • 在离圆心等远的各点处，剪应力则
概述及示例
• 纯扭转变形
4
材料力学－第4章 扭转
概述及示例
• 杆件的扭转变形是指杆件在 M
M
两端外力偶矩作用下发生的
变形
• 受力特点：两个等值反向的 外力偶分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
• 变形特点：杆件各横截面绕 杆的轴线发生相对转动
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材料力学－第4章 扭转
概述及示例
受力及变形特点：
6
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
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材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
d dx
得到：
G d 2dA T
dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
T
IP
dA
T
O
dA
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
IP － 2圆dA截面的极惯性矩
A
考虑一半径为 ，厚度为 d 的圆环。
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
等直圆轴扭转时横截面上的应力
此问题仅仅利用静力平衡是不能解决的，而必须从几何、 物理和平衡三个方面进行综合分析。
变形
几何（位移－应变关系）
应变分布
物理（胡克定律）
应力分布
静力方程
应力公式
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材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力 变形 应变特征 应力分布 应力公式