第三章 扭转 习题解[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I ，III ，IV ，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。

试作轴的扭图。

解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） nN T ke 55.9= 外力偶矩计算(kW 换算成kN.m)题目编号 轮子编号轮子作用 功率(kW) 转速r/minTe （kN.m ） 习题3-1I 从动轮 18 200 0.859 II 主动轮 60 200 2.865 III 从动轮 12 200 0.573 IV 从动轮 22 200 1.051 V从动轮82000.382(2) 作扭矩图[习题3-2] 一钻探机的功率为10kW ，转速min /180r n =。

钻杆钻入土层的深度m l 40=。

如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。

解：（1）求分布力偶的集度m)(5305.018010549.9549.9m kN n N M k e ⋅=⨯== 设钻杆轴为x 轴，则：0=∑xMe M ml =)/(0133.0405305.0m kN l M m e ===T 图(kN.m)（2）作钻杆的扭矩图 x x lM mx x T e0133.0)(-=-=-=。

]40,0[∈x 0)0(=T ； )(5305.0)40(m kN M T e ⋅-==扭矩图如图所示。

[习题3-3] 圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min 。

若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa ，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：)(245445014159.3161161333mm d W p =⨯⨯==π （2）计算扭矩2max /60mm N W Tp==τ )(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ⋅=⋅=⨯=（3）计算所传递的功率 )(473.1549.9m kN nN M T ke ⋅=== )(5.18549.9/120473.1kW N k =⨯=[习题3-4] 空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。

已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o8.1=ϕ，材料的切变模量GPa G 80=。

试求： （1）轴内的最大切应力；（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；（1）计算轴内的最大切应力)(9203877)5.01(10014159.3321)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=απ。

)(184078)5.01(10014159.3161)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=απ式中，D d /=α。

pGI lT ⋅=ϕ， mmmm mm N lGI T p27009203877/80000180/14159.38.142⨯⨯⨯==ϕmm N ⋅=45.8563014)(563.8m kN ⋅=MPa mmmm N W T p 518.4618407845.85630143max =⋅==τ （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率 )(563.880549.9549.9m kN Nn N M T k k e ⋅=⨯=== )(74.71549.9/80563.8kW N k =⨯=[习题3-5] 实心圆轴的直径mm d 100=，长m l 1=，其两端所受外力偶矩m kN M e ⋅=14，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：（1）最大切应力及两端面间的相对转角；（2）图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向； （3）C 点处的切应变。

解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角 pe p W M W T==max τ。

式中，)(19634910014159.3161161333mm d W p =⨯⨯==π。

故：MPa mm mmN W M p e 302.71196349101436max=⋅⨯==τ pGI l T ⋅=ϕ 式中，)(981746910014159.3321321444mm d I p =⨯⨯==π。

故： o p rad m m N m m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/108011400041229==⨯⨯⨯⨯⋅=⋅=-ϕ （2）求图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向 MPa B A 302.71max ===τττ 由横截面上切应力分布规律可知：MPa B C 66.35302.715.021=⨯==ττA 、B 、C 三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C 点处的切应变34310446.0104575.4108066.35--⨯≈⨯=⨯==MPaMPaGCC τγ [习题3-6] 图示一等直圆杆，已知mm d 40=，mm a 400=，GPa G 80=，oDB 1=ϕ。

试求：（1）最大切应力；（2）截面A 相对于截面C 的扭转角。

解：（1）计算最大切应力从AD 轴的外力偶分布情况可知：e CD AB M T T ==，0=BC T 。

p e p p e p CB CB p DC DC p i i DB GI aM GI a GI a M GI l T GI l T GI l T =⋅+⋅=⋅+⋅==∑0ϕ aGI M p e ϕ=式中，)(2513274014159.3321321444mm d I p =⨯⨯==π。

故： mm N mm mm mm N aGI M p e ⋅=⋅⨯==87729618014159.3400251327/8000042ϕpeW M =max τ 式中，)(125664014159.3161161333mm d W p =⨯⨯==π。

故： MPa mmmm N W M p e 815.69125668772963max =⋅==τ （2）计算截面A 相对于截面C 的扭转角o DB pe p p e p BC BC p AB AB p i i AC GI aM GI a GI a M GI l T GI l T GI l T 22202===⋅+⋅=⋅+⋅==∑ϕϕ [习题3-7] 某小型水电站的水轮机容量为50kW ，转速为300r/min ，钢轴直径为75mm ，若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力MPa 20][=τ。

试校核轴的强度。

解：（1）计算最大工作切应力 pp e W TW M ==max τ 式中，)(592.130050549.9549.9m kN n N M k e ⋅=⨯==；)(125667514159.3161161333mm d W p =⨯⨯==π。

故：MPa mm mm N W M p e 219.198283515920003max =⋅==τ （2）强度校核因为MPa 219.19max =τ，MPa 20][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

[习题3-8] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径mm D 60=，内径mm d 50=，功率kW P 355.7=，转速min /180r n =，钻杆入土深度m l 40=，钻杆材料的GMPa G 80=，许用切应力MPa 40][=τ。

假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求： （1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。

解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m)(390.0180355.7549.9549.9m kN n N M k e ⋅=⨯== 设钻杆轴为x 轴，则：0=∑xMe M ml =)/(00975.040390.0m kN l M m e ===（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核①作钻杆扭矩图x x mx x T 00975.04039.0)(-=-=-=。

]40,0[∈x 0)0(=T ； )(390.0)40(m kN M T e ⋅-==扭矩图如图所示。

②强度校核peW M =max τ 式中，)(21958])6050(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p =-⨯⨯⨯=-=απ MPa mmmm N W M p e 761.17219583900003max =⋅==τ 因为MPa 761.17max =τ，MPa 40][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度足够，不会发生破坏。

（3）计算两端截面的相对扭转角⎰=40)(pGI dxx T ϕ 式中，)(658752])6050(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p =-⨯⨯⨯=-=απ 402404122640]2[10658752/108000975.000975.01|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T pp ⎰⎰-⨯⨯⨯===ϕ 05.8)(148.0≈=rad[习题3-9] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为0.2kN ，已知轴材料的许用切应力MPa 40][=τ，试求： （1）AB 轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。

解：（1）计算AB 轴的直径AB 轴上带一个主动轮。

两个手柄所施加的外力偶 矩相等：)(08.04.02.0m kN M M e e ⋅=⨯==右左 )(16.02m kN M M e e ⋅==右主动轮 扭矩图如图所示。

由AB 轴的强度条件得： ][163max τπτ≤==dM W M e p e 右右 mm mmN mmN M d e 7.21/4014159.38000016][16323=⨯⋅⨯=≥τπ右 （2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：35.02.0从动轮主动轮e e M M =)(28.016.020.035.0m kN M e ⋅=⨯=从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得：从动轮e M P =⨯25.028.025.0=⨯P)(12.125.0/28.0kN P ==[习题3-10] 直径mm d 50=的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶m kN M e ⋅=6，而在圆杆表面上的A 点将移动到A 1点，如图所示。

已知mm AA s 31==∆⋂，圆杆材料的弹性模量GPa E 210=，试求泊松比ν（提示：各向同性材料的三个弹性常数E 、G 、ν间存在如下关系：)1(2ν+=EG 。