第三章 谐振子一 内容提要1 一维线性谐振子的能级与波函数2221)(x x V μω= 222212ˆˆx p Hμω+= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符)ˆˆ(2ˆp i x aμω-μω=+ )ˆˆ(21p ix μω-α= )ˆˆ(2ˆp i x aμω+μω= )ˆˆ(21pix μω+α= 则 )ˆˆ(2ˆ++μω=a ax)ˆˆ(2ˆ+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质11ˆ++ψ+=ψn n n a1ˆ-ψ=ψn n n a1]ˆ,ˆ[=+a a二 例题讲解1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4'ˆx Hλ=，求体系能级的一级修正。

解：>+<μωλ>=<λ>==<+n a an n x n n Hn E n 424')1()ˆˆ()2(ˆ 可以导出 )122(3)ˆˆ(24++>=+<+n n n a an 那么 =)1(n E )122()(4322++μωλn n2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。

求：[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。

[2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。

解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）[1] 由公式 -θ+θ-=θ42!41!211c o s（2）得在小角度近似下的二级修正势能为：2221))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）体系Hanmilton 为V L IV mr mv r V mv H z +=+⨯=+=ˆ21)(2121ˆ222 即：22221)(21ˆθ+θ=mgl d d i ml H（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0设 lg =ω （4）可以变为22222212ˆx m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] （6） [2] )cos 1()(21ˆ22θ-+θ=mgl d d i ml H（7） 则微扰项20'21)cos 1(ˆˆˆθ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得434'241!41ˆmgx l mgl H-=θ-= （9） 利用上题可以得到=)1(n E )122())(241(43223++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(21)(21>=k kx x V 的基态[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(22>=k kxx V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schreq ψ+∂ψ∂-=ψ∂∂V xm t i 2222 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突变时ψ不变。

设)(0x ψ和)(0x φ分别表示)(1x V 和)(2x V 的基态波函数，当势场突然由)(1x V →)(2x V 后，粒子的波函数仍为)(0x ψ，测得粒子处于)(0x φ的概率是：200>φψ<将)(1x V 和)(2x V 写成标准形式：221212121)(x m kx x V ω== 2222221)(x m kx x V ω== 显然 122ω=ω)(0x ψ和)(0x φ分别为：2/022)()(x e x α-πα=ψ 12ω=αm2/022)()(x ex α-πβ=φ 22ω=βm 其中 21222=ωω=αβ 因此 9852.0212)/(1/22)(4/52222)(21200222=+=αβ+αβ=β+ααβ=παβ=>φψ<⎰∞∞-β+α-dx e x [2] 取势场第一次发生突变)(1x V →)(2x V 的时刻0=t ，这时波函数为)()0,(0x x ψ=ψ以)(x n φ表示2V 势场的能量本征态，相应的能级为： 2)21(ω+= n E n 将)()0,(0x x ψ=ψ展开成)(x n φ的线性迭加：)()(0x C x nnn φ=ψ∑ （因为)(0x ψ为偶函数，那么n 只能是偶数）当τ<<t 0 S.eq 中2V 的解为：∑∑ω-ω--φ=φ=ψt in n n t i t iE n n e x C e e x C t x n 22)()(),(2//现令 )(),(0x A t x ψ=ψ 则必须有 4,2,012==τω-n e in即有： 12±=τω-i e 所以 3,2,12==τωl l或 3,2,12=ωπ=τl l当 τ=t 势场又)(1x V →)(2x V 后，粒子就永远处于)(0x ψ态，能量为121ω=E 4 耦合谐振子的Hamilton 为21222122221)(21)ˆˆˆ(21ˆx x x x m p p m H λ++ω++=其中 11ˆx i p ∂∂-=，22ˆx i p ∂∂-= ，2,1,2,1p p x x 分别属于不同自由度。

设2ω<λm 试求偶合谐振子的能级。

解： 如果没有偶合项21x x λ，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton 为：)21ˆ21()21ˆˆ21(ˆˆˆ222221221210x m p m x m p m H H H ω++ω+=+= 用分离变量法即可化为两个独立的一维谐振子问题，那么得到上式的解为： ω++= )1(2121n n E n n ,2,1,0,)()(212121=ψψ=ψn n x x n n n n其中)(x n ψ为一维谐振子的能量本征函数。

对于耦合谐振子可以用坐标变换的方法将问题化为两个独立的一维谐振子问题。

方法如下：令 )(21211y y x += )(21212y y x -=即 )(21211x x y += )(21212x x y -= 不难证明有： 22212221y y x x +=+ )(21222121y y x x -=222212x x ∂∂+∂∂222212y y ∂∂+∂∂=因此Hamilton 可以表为：)(2)(21)(2ˆ2221222122222122y y y y m y y m H -λ++ω+∂∂+∂∂-=2222212122221222121)(2y m y m y y m ω+ω+∂∂+∂∂-= 其中mλ+ω=ω221mλ-ω=ω222 已经表示为两个独立的一维谐振子问题，能量本征值和本征函数分别是：2211)21()21(21ω++ω+= N N E N N),2,1,0()()(2,1212121 =ψψ=ψN N y y N N N N5 粒子处于势阱⎪⎩⎪⎨⎧>ω≤∞=)0(21)0()(22x x m x x V 中。

试求粒子的可能能量。

解：既然粒子不能穿入0<x 的区域，则0=x 的波函数等于0 ，另一方面，在0>x 的区域，本征函数和本征值与一般谐振子的形式应该相同。

但考虑到0)(0=ψ=x n x由谐振子的波函数公式)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ可知0)(0==x n x H 再由Hemit 多项式的性质知2,1,012=+=k k n即波函数)(x n ψ为奇函数。

总之体系的能量可能值是)2,1,0()2112( =ω++=k k E k6 考虑一谐振子，令0ψ和1ψ分别为它的基态与第一激发态的波函数（均为实数且归一化 的），令10ψ+ψB A 是某一瞬时谐振子的波函数，A 和B 是实数。

[1] 证明x 的平均值一般不为零。

[2] A 和B 取什么值><x 为最大和最小？ 解：谐振子的本征态n ψ，n 为奇（偶）数时，分别为奇（偶）数。

⎰⎰⎰ψψ=ψψ+ψψ=ψ+ψψ+ψ>=<dxx AB dx x AB x B A dx B A x B A x 100*1*1*0*10*102)()(()(dx x B A 102])(1[⎰ψψ--= 一般不为零。

考虑到2/1,122===+B A B A 时，><x 最大；当A=-B=2/1时，><x 最小。

7 考虑位于电场x E E 0=内且在三维各向同性势2221)(r m r V ω=下运动的带电荷e +的粒子，求粒子的本征态和本征值。

解：体系的Hanmilton 为z y x H H H x eE r m m p H ++=-ω+=022222这里 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ω+=ω+=-ω+=2222220222222222z m m p H y m m p H x eE x m m p H z z y y x xy H 和z H 完全和一维谐振子的Hanmilton 相同， 令)()()(),,(321z y x z y x ψψψ=ψ 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧πλ=ψπλ=ψλ-λ-223322222/332/22)(!21)()(!21)(z n n y n n e z H n z e y H n y 式中ω=λm)(1x ψ的方程是： 11101222122122)(ψ=ψ-ψω+∂ψ∂-=ψE x eE x m x m x H x做变量替换 ω-λ=ξm eE x 0 则有方程：0))(2(213201212=ξ-ψω+ω+ξψ m eE E d d 其解为： 22112/11)(!21)(λ-πλ=ψyn n e x H n x在这种情况下，量子条件是： 12)(213201+=ω+ωn m eE E 于是能级本征值是 220112)()21()(1ω-ω+=m eE n E n 总之： 波函数是 )()()(),,(321z y x z y x ψψψ=ψ 能级是 2203212)()23(321ω-ω+++=m eE n n n E nn n 8 已知线性谐振子的初始时刻（t=0）处于)](sin 221)([cos )0,(202122x H x H Ae x x αβ+αβ=ψα-之中。