6.与经典粒子的比较
经典粒子的能量连续，而阱内微观粒子的能量是分离 的。 经典粒子的几率分布均匀，而阱内微观粒子的几率分 布不均匀 经典粒子的能量最小值为零，它可在零到无穷大之间 取值，而阱内微观粒子的能量的最小值不为零
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1. 能量量子化
2 2 2 En n , 2 2a
n 1,2,3,
2. 能级关系
En n2 E1
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一维无限深势阱中粒子的运动特征
3.基态能量
2 2 E1 0 2 2a
波粒二象性的必然结果 4. 相邻两能级的能量差
En (2n 1) 2a 2
方势阱
⑥定态波函数
n n
i Ent ( x)e
2 nπ sin x a a
i Ent e
( n 1,2,3,)
⑦概率密度
Pn n n n n
*
*
2 2 nπ sin x a a
n 1,2,
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一维无限深势阱中粒子的运动特征
a 2
2a 3
4 x
2
n4
3 x
3 x
2
n3
n-1
2 x
3
E2
2 x
2
n2
概率密度的极大值 n
2 a
1 2a
1 x
E1
1 x
2
n1
o
a
o
a
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一维无限深势阱中粒子的运动特征
奇偶性
4 x
2 2
n , E a , E
当势阱的宽度 a 小到原子的尺度，E 很大，能量的量子化显著。 当势阱的宽度 a 大到宏观的尺度， E 很小，能量量子化不显著。
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一维无限深势阱中粒子的运动特征
5.波函数和概率密度
波函数的节点
4 x
E4
E3
4
4
a 2
2a 3
4 x
2
n4
x 1 x
n1 n n
3 x
3 x
2
n3
3
2 x
2 x
2
n2
2 a
1 2a
1 x
1 x
2
n1
o
a
o
a
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一维无限深势阱中粒子的运动特征
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方势阱

①势函数
V ( x) 0

Байду номын сангаас
0
0 V ( x) 0 xa x 0,x a
a
x
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方势阱 ②哈密顿量
d ˆ H V ( x) 2 2m dx
2 2

V ( x) 0

0
③定态薛定谔方程 阱外：
a
x
2 d2 2 ( x) E 2 ( x) 2 2m dx
阱内：
2 d2 ( x ) E ( x ) 1 1 2m dx 2
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方势阱 ④分区求通解 1)阱外
2 ( x) 0
2)阱内
本征函数
x a, x 0
( n 1,2,3,)
2 nπ n ( x) sin x a a
能量本征值
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