一维量子谐振子的概率分布摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。

并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。

量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。

可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。

关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布1.引言：谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。

谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。

谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。

通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。

再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。

随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。

再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。

2.经典一维谐振子：首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。

下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。

例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。

弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。

大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。

当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子作简谐振动，再根据牛顿第二定律：kx dtx d m -=2， 所以得运动微分方程为：x x mkx 2''ω-=-=， 在此中mk=2ω（决定于弹簧的劲度系数和滑块的质量），由此可以得到一个比较普遍的定义。

比如质点运动的动力学方程为0222=+x dtx d ω的形式，也可以将它的解为)cos(φω+=t A x 。

相应的，质点的动量的表达式为i t B i t mA i p i x m p x )sin()sin(φωφωω+-=+-=='=，这里出现的km A B = 。

这个质点的动量的方向为x 方向的分量。

还有一种典型的谐振子，那就是单摆，在研究单摆模型中，要用长度不可变的轻线悬挂一个小球，我们把小球看作为质点，质点所受的的合力为质点的重力和悬挂线拉力的合力，使得质点在竖直的平面内沿圆弧摆动，并且要求摆动相对于悬线竖直位置的夹角很小，把这个夹角记作θ 。

现在分析质点在沿运动方向所受的力为弧线的切线方向，记作F 。

质点的质量为m ，切向力F 的大小为θsin mg ，且当θ=0这个位置时，-+-=!5!3sin 52θθθθ··· ，所以当θ角很小时，就可以略去级数展开式中的高次项，即θθ≈sin ，这样切向力就可写成θmg F -=，从公式中就可以看出来，切向力和角位移反号，使得质点总要返回平衡位置，已知F 力是线性回复力，所以会做简谐振动，可以得出单摆的动力学方程，假设线长为l ，所以：θθmg dt l d m -=22)( ，θθl g dtd -=22 ，令2ω=l g即，可得到：0222=+θωθdtd 这样得到的结果和弹簧振子得到的结果是一样的，所以单摆得到的也是一个简谐振动。

3.量子谐振子比如在一维的系统内粒子的势能m 212ω2x ，其中ω是常量，这种形式的称为线性谐振子。

例如，两原子势能与x 的关系，其中在两原子间距中有一个稳定平衡点，把这一点记作a ，在x=a 处，势能U 具有极小值，即0=∂∂x U ，这样就可以写成U=2)(20a x kU -+，式中的k 和U0是常数，这就是一维线性谐振子的势能，通常情况下，一个体系平衡位置附近的运动都可以用线性谐振子来表示。

谐振子的势能为2221x m ω ，且坐标和时间可表示为)sin(δω+=t a x ，我们把a 作为振幅，δ是初相。

我们选择适合的坐标系，领粒子势能为2221x m ω ，为了更加方便，我们引入了无量纲的变量ξ来代替x ，所以该体系的 薛定谔方程为：0)2(22222=-+ψωψx m E dx d m其中的关系为x x m αωξ==，其中ωαm =。

令ωλ E2=，以ω2乘方程0)2(22222=-+ψωψx m E dx d m ， 由 x x m αωξ== 和ωαm =式， 薛定谔方程变化为：0)(222=-+ψξλξψd d 我们当ψ在±∞→ξ时的渐近时，也就是ξ非常大时，可得λ和2ξ相比可略去， 所以在±∞→ξ时，方程可表示为：0)(222=-+ψξλξψd d可以写成为ψξξψ222=d d ，该解为 22ξψ±≈e ，因此这就是方程0)(222=-+ψξλξψd d 的渐近解。

波函数标准的条件是，当±∞→ξ 时，ψ应该为有限的，因此取指数的负号，即22ξψ-≈e。

所以就可以把ψ写成以下形式， 从而求得方程0)(222=-+ψξλξψd d 的解为：)()(22ξξψξH e -= ，从上式中求得的函数)(ξH 在自变量为有限时应有限的，而且当±∞→ξ时，这样就的让)(ξH 必须保证)(ξψ为有限。

将)()(22ξξψξH e-=代入方程0)2(22222=-+ψωψx m E dx d m 先求出)()(22ξξψξH e-=式的二级微商：22)(ξξξξψ-+-=e d dH H d d2222222)2(ξξξξξξψ-++--=ed H d H D dH H d d将上式代入0)(222=-+ψξλξψd d 式中，可得到)(ξH 所能满足的方程：02)1(22=+--ξξξλd Hd d dH H 把H 展成关于ξ的幂级数，而且级数只含有限的项的条件是λ为奇数：12+=n λ ，且n=0,1,2,3··· 将式代入2公式ωλ E 2=后，就可得到线性谐振子的能级为)21(+=n E ω ，n=0,1,2,3··· 因此，两个相邻能级的间隔均为ω ，线性谐振子的基态能量为ω 210=E （n=0），这个被称之为零点能。

这个在量子力学中是特有的，在旧量子论中没有。

4．能量的最小值根据不确定关系（测不准关系）可以的到动量和坐标的关系， 因为i p p x x x =- ， =k于是得到：4)()(222≥∆∆x p x这个就是坐标和动量的关系，2)(x ∆和2)(x p ∆不能同时为零，其中坐标x 的均方偏差越小，那么它的共轭的动量的均方偏差就越大。

对于线性谐振子的零点能，我们可以利用不确定关系：4)()(222≥∆∆x p x其中振子的平均能量是：222212x m m p E ω+= ，得到坐标的期望值是：⎰=+∞∞-∂-∂xdxx H e nnx N x )(2222 ， 该式中积分号下的函数是关于x 的奇函数，动量的期望值：⎰=+∞∞-∂-∂-∂∂dxX H edxd x H en N x nx N ip )]([)(2222222分步积分后：p N ip dxX H edxd x He n N x n x -=⎰-=+∞∞-∂-∂-∂∂)]([)(2222222均方差公式：2222222)()(F F F F F F F F F -=+-=-=∆因为0=x ，0=p ，得到22)(x x =∆ ，22)(p p x =∆ ，将其代入222212x m m p E ω+=得线性谐振子的能量期望值：222)(212)(x m m p E ∆+∆=ω又由于不确定关系使2)(x ∆和2)(x p ∆不能同时为零，所以E 的最小值也就不能为零，并且必须是有限的正值。

为了求得E 的最小值，使得4)()(222≥∆∆x p x 取等号，即可得到：222)(4)(x p x ∆=∆ 将该式代入222)(212)(x m m p E ∆+∆=ω式，得到2222)(21)(18x m x m E ∆+∆=ω 将此式对2)(x ∆求导就得到了E 的最小值，又由ωm x 2)(2=∆ ，得到了E 的最小值为ωm 21。

从以上关系可以看出，线性谐振子的基态能量是由不确定关系所求得的最小值。

5．线性谐振子波函数对于12+=n λ ，且n=0,1,2,3··· 中不同的n 或者不同的λ ，在方程02)1(22=+--ξξξλd Hd d dH H 中有着不同的解)(ξn H ，我们把)(ξn H 称之为厄米多项式，也可以用22)1()(ξξξξ--=e d d eH nn nn 来表示。

其中的)(ξn H 的最高次幂是n ，并且它的系数是n2 ，所以就可以利用22)1()(ξξξξ--=e d d eH nn nn 推出)(21ξξ-=n nnH d dH 0)(2)(2)(11=+--+ξξξξn n n nH H H]2[222)2(]2[!)1(...)2)(1()2()(nn n n n n z n n z n n H ---++--=ξξ式中的⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=2)1(2]2[n nn ，n 为偶数时为2n ，当n 为奇数时为2)1(-n 。

从而得到了几个厄米多项式：10=H ξ21=H2422-=ξH ξξ12833-=H 124816244+-=ξξHξξξ12016032355+-=H 120720480642466-+-=ξξξH ξξξξ38478013441283577-+-=H1680108488280358425624688+-+-=ξξξξH ξξξξξ95043417638064921651235799+-+-=H 3024021427221739214064023040102424681010-+-+-=ξξξξξH由)()(22ξξψξH e-=得到的关于能量n E 的波函数，即)()(22ξξψξn n n H eN -=或)()(222x H eN x n x n n αψα-=式中的n N 是归一化因子，所以利用归一化条件:n n n n dx x x ''+∞∞-=⎰,*)()(δψψ（其中归一化因子2121)!2(n N n n πα=） 。