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§2.1 导数与微分
内容重点：
1.导数的概念，导数的几何意义与经济意义 2.复合函数求导、隐函数求导、分段函数求导
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1、导数 定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内
有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
（4）分段函数求导时, 分界点导数用左右导数的定
义求，而在小开区间段上一般直接用初等函数的求
导法.
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(5)复合函数的求导法则
设 yf(u),而 u(x)则复y 合 f[ 函 (x)的 ]数 导数 d yd 为 ydu或y(x)f(u)(x).
dxdu dx
第二章 一元函数的微分学
内容
导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可 导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数 和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数．反函 数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L‘Hospital）法则 函数单调性 的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性．拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值
5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定 理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．
6．会用洛必达法则求极限． 7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大 值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导 数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近 线． 9．会描述简单函数的图形．
(2)右导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 导数的几何意义
f(x0)x l ix0 m f(xx ) x f0 (x0).
导数的定义本质上是一类特殊函数的极限问题，一般地，题设在一点可 导，利用导数在一点的定义。对分段函数在分段点的导数必须用左右导 数的定义讨论。
对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0 , f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan, (为倾角)o
yf(x)
T
M
x0
x
切线方程为 y y 0 f( x 0 )x ( x 0 ).
法线方程为
1 yy0f(x0)(xx0).
★ 可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数. .可导一定连续，连续不一定可导。
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整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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要求
1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经 济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法 则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会 求函数的微分．
★ 基本求导公式与求导法则
(1)基本初等函数的导数公式
(C) 0 (x) x1
( x) 1 2x
1 x
1 x2
(ax xlna
(lnx) 1 x
(sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x (secx)secxtanx (cscx)cscxcotx
（6）隐函数的求导法则
方法：
如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导, 则将 y = f (x) 代入方程中, 得到
F ( x, f (x) ) 0 求导时只须将y视为x的函数， 利用复合函数的求导法则，
数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
dy 或df(x)
dxxx0
dx
, xx0
即 y x x 0 l x 0 i x y m l x 0 ifm (x 0 x x ) f(x 0 )
其它形式 f(x 0) lh i0m f(x 0 h h )f(x 0).
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(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
(2)函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C是常数)
（3）(uv) uv uv,
记作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(x x)f(x)
x 0
x
或 f(x ) lif m (x h )f(x ).
h 0
h
注意: 1.f(x0)f(x)xx0.
★ 单侧导数
(1)左导数: f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则) 运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析 函数的复合关系。“由外向里，逐层推进”。
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推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx