解析几何解答题专练19．（本小题14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点)20P ，和点212Q ⎛-- ⎝⎭，.（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）如图，以椭圆G 的长轴为直径作圆O ，过直线2-=x 上的动点T 作圆O 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，求CD AB的取值范围．解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22221x y a b+=（0a b >>），将点)20P ，和点21Q ⎛- ⎝⎭，代入，得22221112a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故椭圆G 的标准方程为2212x y +=.（Ⅱ）圆2C 的标准方程为222xy +=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线AT 的方程为112x x y y +=，直线BT 的方程为222x x y y +=， 再设直线2-=x 上的动点()2,T t -（t R ∈），由点()2,T t -在直线AT 和BT 上，得设1s m =（104s <≤），则AB CD=设()31632f s s s =+-，则()()2269661160f s ss '=-=-≥，故()f s 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数， 于是()f s 的值域为(]1,2，CD AB的取值范围是(.19．（本小题满分14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>离心率2e =，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．19．（本小题共14分） （Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a a ===，得224,2ab ==． ∴椭圆C的标准方程为22142x y +=． (4)分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设0(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024xy +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA方程为：0(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA方程为：0(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分【或通过求得圆心0202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】即222000220044044x y y x y y x x +-+=--，∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， (12)分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分19．（本小题满分14 分） 已知椭圆C ：()22221x y a b a b+=>>0的一个焦点为F (2，0)，离心率为过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，线段 AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于M ，N 两点。

（1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形AMBN 面积的最大值。

（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线1x=-的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b=+与曲线C相切于点P，与直线1x=-相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．19.（本小题共14分）已知椭圆C：2236+=的右焦点为F．x y（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y kx mk≠过点F，且与椭圆C交于P，=+(0)Q两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.kx k x k +-+-=（依题意∆>）．设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y yx x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+3=．所以直线P Q'过x轴上定点(3,0)． (14)分19.（本小题共14分）动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线. 19．（本小题共14分） 解：(Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分 化简并整理，得 13422=+y x .所以动点),(y x P 的轨迹C的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分（Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62t tQA y x QB y x =+=- 由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080tx t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为Mx ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120tx t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为Nx ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当MNxx =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线；当MNxx ¹时，218(2)627MM t t yx t =+=+，26(2)23NN t tyx t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t kt x t t -+===----+NFMF K k =，,,M N F 三点共线. 综上，命题恒成立.………………14分19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，右顶点A 是抛物线28y x=的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）如果AM AP AQ=+u u u u r u u u r u u u r，点M 关于直线l 的对称点N 在y轴上，求k 的值．答案：（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）2k =±解析：（Ⅰ）抛物线28yx=，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为c e a==，所以c =所以2221b ac =-=，所以椭圆C的方程为2214x y +=． ……………………4分（Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ=+u u u u r u u u r u u u r ，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x xy y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440kx k x k +-+-=（判别式0∆>），得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky yk x x k -+=+-=，即2222(,)4141kM k k --++． 设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y k k k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上， 所以3221(1)41241k yk k k --+=-++，解得32yk=-，即(0,2)N k -．由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得2k =±． ……………………14分19. （本小题满分14分）已知直线022=+-y x 经过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为Bx 轴上方的动点，直线AS ,BS 与直线4:=x l (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值.19. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ).椭圆C的方程为1422=+y x . ………3分（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且0>k ，故可设直线AS的方程为)2(+=x k y ， ………4分 从而)6,4(k M ………5分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y 得041616)41(2222=-+++k x k x k， ………7分 设),(11y x S ，则22141416)2(k k x +-=⨯-， 得2214182k k x +-=， (8)分从而21414k k y +=，即)414,4182(222k k k k S ++-， ………9分又)0,2(B ，故直线BS的方程为)2(41--=x ky ………10分由⎪⎩⎪⎨⎧=--=4)2(41x x k y 得⎪⎩⎪⎨⎧-==k y x 214∴)21,4(kN -， ………11分 故kk MN 216||+=， ………12分又∵0>k ， ∴322162216||=⨯≥+=kk k k MN ， ………13分当且仅当k k 216=，即63=k 时等号成立，∴63=k 时，线段MN的长度取得最小值为32. …………14分19．（本小题满分14分） 已知椭圆2212x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ∆外接圆的方程； （Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y轴的交点1(0,)2D . ……………… 1分 则线段CD的中点11(,)24，||CD ==， ……………… 3分即OCD ∆外接圆的圆心为11(,)24，半径为1||24CD =， 所以OCD∆外接圆的方程为22115()()2416x y -+-=. ……………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点. 理由如下：由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(,0)m C k-，(0,)D m ， ……………… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>，（*） ……………… 8分由韦达定理，得122412km x x k -+=+,21222212m x x k -=+. ……………… 9分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以1224120km x x k mk-+==+-， ………………10分 解得k =.……………… 11分由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =. 所以12|x x -= ……………… 12分即 12||3||mx x k-==，解得5m =±.……………… 13分 验证知（*）成立.所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为25y x =±，或25y x =-±. ……………… 14分19.（本小题共14分）已知椭圆C 的离心率e =1(A ，2A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q .问在x 轴上是否存在定点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N ，若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由.19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由已知2,a =22c e a ==————2分∴1c =，221b ac =-=∴椭圆C 的方程为2212x y +=；————4分∴NP NQ⊥，即NP NQ ⋅=u u u r u u u r ————10分∴1121(,)(2,2)0k x x k b b b----=，∴21112(1)210kx x x b-+-+=对满足2221b k =+恒成立，∴12110210x x x -=⎧⎨-+=⎩，∴11x=故在x 轴上存在定点(1,0)N ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点N .——14分19. （本小题满分14分）已知,A B 是椭圆22:239C xy +=上两点，点M 的坐标为(1,0).（Ⅰ）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB ∆为等边三角形时，求AB 的长；（Ⅱ）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：MAB ∆不可能为等边三角形. 19．解：（Ⅰ） 设(,)A x y ,00(,)-B x y ， ---------------------------------------1分因为∆ABM为等边三角形，所以00||1|=-y x .---------------------------------2分又点0(,)A x y 在椭圆上，所以002200||1|,239,y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y ，-----------------------------------------3分得到2003280--=x x ，解得02=x 或043=-x ，----------------------------------4分当02=x时，||=AB当043=-x 时，||=AB .-----------------------------------------5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线AB 斜率存在.设直线AB :=+y kx m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为0(,)N x y ，联立22239,⎧+=⎨=+⎩x y y kx m消去y得222(23)6390+++-=k x kmx m ，------------------6分由∆>得到222960--<m k ①----------------------------7分所以122623+=-+km x xk ,121224()223+=++=+m y y k x x m k ，----------------------------8分所以2232(,)2323-++kmmN kk，又(1,0)M如果∆ABM为等边三角形，则有⊥MN AB，--------------------------9分所以1MN k k ⨯=-， 即2222313123mk k km k +⨯=---+，------------------------------10分化简2320k km ++=，②------------------------------11分由②得232k m k+=-，代入① 得2222(32)23(32)0k k k+-+<，化简得2340+<k ，不成立，-------------------------------------13分{此步化简成4229188k k k ++<或4291880kk ++<或22(32)(34)0kk ++<都给分}故∆ABM不能为等边三角形.-------------------------------------14分法2：设11(,)A x y ，则2211239xy +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ===，----------------8分设22(,)B x y ，同理可得||MB =，且2[3,3]x ∈------------------9分因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调所以，有12x x =⇔||||MA MB =，---------------------------------11分因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠.所以||||MA MB ≠，---------------------------------13分 所以∆ABM不可能为等边三角形.---------------------------------14分（19）（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（19）（本小题满分13分） 解： （Ⅰ）由已知得1c =，22a c ==------------------3分2223b ac =-=，所以椭圆C的方程为22143x y +=------------------4分 （Ⅱ）2BFMBFNS S ∆∆=等价于2FMFN=------------------2分当直线l 斜率不存在时，1FM FN=，不符合题意，舍去； ------------------3分当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-， 由221,43(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消x并整理得222(34)690k y ky y ++-=------------------5分设11(,)M x y ，22(,)M x y ，则12263+4ky y k +=-①，21229=34k y y k -+②------------------7分由2FM FN =得122yy =-③由①②③解得k =l：1)y x =-使得BFM ∆与BFN∆的面积比值为2------------------9分19、（本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -．（1）求椭圆G 的方程； （2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．19．(共13分) 解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a=．所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠．设直线l的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，，得12229262x x kx k +==-+，12623262y y y k +==+．由BM BN =，知BQ MN ⊥，所以6611y x k+=-，即2231162962k k k k ++=--+．化简得223k =，满足0>△．所以k =因此直线l的方程为32y =+．19．（本小题满分14分）给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为0)F ，，其短轴上的一个端点到F. （Ⅰ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线12l l ，交“准圆”于点M N ，.（ⅰ）当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12l l ，的方程并证明12l l ⊥；（ⅱ）求证：线段MN 的长为定值.19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）1c a b ==∴=Q ， ∴椭圆方程为2213x y +=， (2)分准圆方程为224x y +=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆224xy +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，，设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切， 所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±， ………………6分 所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，. ………………7分121l l k k ⋅=-Q ，12l l ∴⊥. ………………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则1l：x =当1l：x =1l与准圆交于点1)1)-，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l：x =时，直线12l l ，垂直. ………………10分②当12l l ，斜率存在时，设点0()P x y ，，其中2204x y +=.设经过点0()P x y ，与椭圆相切的直线为0()y t x x y =-+， 所以由0022()13y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得 2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由∆=化简整理得2220000(3)210x t x y t y -++-=， 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=. 设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程222000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直. ………………12分综合①②知：因为12l l ，经过点0(,)P x y ，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ， 垂直. 所以线段MN为准圆224x y +=的直径， ||4MN ＝， 所以线段MN的长为定值. ………………14分(19) (本小题共14分)如图，已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，过左焦点(3,0)F -且斜率为k的直线交椭圆E 于A ,B 两点，线段AB 的中点为M,直线l ：40x ky +=交椭圆E 于C ,D 两点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）求证：点M 在直线l 上；（Ⅲ）是否存在实数k ,使得三角形BDM 的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.19. 解：（Ⅰ）由题意可知32c e a ==，3c =，于是2,1a b ==. 所以，椭圆的标准方程为2214x y +=程.---------------------------------3分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，22(3)14y k x xy ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩即2222(41)831240k x k x k +++-=. 所以，21283k x x -+=，2120432x x k x +-==，003(3)k y k x =+=， 于是222433(,)4141k kM k k -∴++.40k +=，所以M 在直线l 上. --------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等， 若∆BDM 的面积是∆ACM 面积的3倍，则|DM |=3|CM |，因为|OD |=|OC |，于是M 为OC 中点，；设点C 的坐标为33(,)x y ，则302y y =.因为22414x kyx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3y =.=，解得218k =，所以4k =±.----------------14分（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(1,2，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C的方程是2214x y +=． …………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440kx k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --．直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --． 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=u u u r u u u r恒成立． 又因为1012(,)2y PN x x =-u u u r ，2022(,)2y QN x x =-u u u r ，所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=----u u u r u u u r 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x xx x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++22414k k =+，212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k-=-+++22314k k -=+， 所以2222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x=．故以线段PQ为直径的圆过x 轴上的定点(． …………… 14分。