2
2
4
p 9 .此时 C2 的焦点坐标为（ 9 ，0），该焦点不在直线 AB 上.
8
16
（II）解法一： 假设存在 m 、 p 的值使 C2 的焦点恰在直线 AB 上，由（I）知直线 AB 的斜
率存在，故可设直线 AB 的方程为 y k(x 1) ．
y k(x 1)
由
x
2
4
y2 3
消去 1
解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（－2，1）.
设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意 x1 x2 且
x12 y12 1,
①
94
x2 2 y2 2 1,
②
94
由①－②得
(x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0.
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0) 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
x 4 为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设 P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于 异于 A, B 的点 M、N ，证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学 知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
x2 2
，
y1
2
y2
），
依题意，计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差
BQ 2 － 1 4
MN
2 ＝(
x1
x2 2
－2）2＋（
y1
2
y2
1
）2－
4
[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1
○3
又直线 AP 的方程为 y＝ y1 (x 2) ，直线 BP 的方程为 y＝ y2 (x 2) ，
MN
2
＝
54（2－x1 )(x2
2)
0.
从而，点 B 在以 MN 为直径的圆内。
4、已知椭圆
C1:
x2 4
y2 3
1,抛物线
C2: ( y m)2
2 px( p
0) ,且
C1、C2 的公共弦
AB
过
椭圆 C1 的右焦点.
(Ⅰ)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值，并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上；
③
9
4
因为 A、B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得 y1 y2 ＝ 8 ，即直线 l 的斜率为 8 ，
x1 x2 9
9
8
所以直线 l 的方程为 y－1＝ （x+2），即 8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
9
2、已知椭圆 x 2 y 2 1 的左焦点为 F，O 为坐标原点。 2
(Ⅱ)是否存在 m 、 p 的值，使抛物线 C2 的焦点恰在直线 AB 上？若存在，求出符合条件的
m 、 p 的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）当 AB⊥x 轴时，点 A、B 关于 x 轴对称，所以 m＝0，直线 AB 的方程为： x =1，
从而点 A 的坐标为（1， 3 ）或（1，－ 3 ）. 因为点 A 在抛物线上.所以 9 2p ，即
因为
(
y1
( y2
m)2 m)2
2 px1 2 px2
，所以
y1
y2
2m
2p
x2 y2
x1 y1
． …………⑥
将②、③代入⑥得 m2 3 p( p 2)2 . ……………⑦ 16 10 p
3( p 4)( p 2)2
由⑤、⑦得
3 p( p 2)2 .即 3 p2
20 p 32 0
解析几何大题答案
1、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0) 的两个焦点
F1 、 F2 ， 点
P
在椭圆
C
上，且
P
F1 ⊥ PF2,,|
P
4
14
F1|= 3 ,,| P F2|= 3 .
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且 A、B 关于点 M 对称，
代入椭圆 C 的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为 A，B 关于点 M 对称.
所以 x1 x2 18k 2 9k 2.
2
4 9k 2
解得 k 8 ， 9
所以直线 l 的方程为 y 8 (x 2) 1, 即 8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 9
a2
的距离为 ，由于 c2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0 ）
y
得 (3 4k 2 )x2
8k 2x
4k 2
12
0 …①
设 A、B 的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则
x1,x2
是方程①的两根，x1＋x2＝
3
8k 2 4k
2
.
由
( y m)2 2
y
k(x
1)
px
消去
y
得 (kx
k
m)2
2 px
.
y A
O
x
B
………………②
因为 C2 的焦点 F ( p , m) 在直线 y k(x 1) 上， 2
a2 解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c， ＝4，解
c 得 a＝2，c＝1，从而 b＝ 3 .
2 M
1
-4
A -2
2B
4
故椭圆的方程为 x 2 y 2 1 . 43
-1
N -2
（Ⅱ）解法 1：由（Ⅰ）得 A（－2，0）， B（2，0）.设 M（x0，y0）.
3 ∵M 点在椭圆上，∴y0＝ （4－x02）.
（Ⅰ）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法， 考查运算能力和综合解题能力。
求直线 L 的方程。
解法一：(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上，所以 2a PF1 PF2 6 ，a=3.
在 Rt△PF1F2 中， F1F2
从而 b2=a2－c2=4,
PF2 2 PF1 2 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,
所以椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 ＝1. 94
(Ⅱ)设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,
＝
p(k 2 2) k2
.
解得
p
(4k 2
8k 2 3)(k 2
2)
……………………④
又 AB 过 C1、、＼、、C2 的焦点，所以
AB
(x1
p 2
)
(
x2
p) 2
x1
x2
p (2 1 2
x1
)
(2
1 2
x2 ) ，
则
p
4
3 2
( x1
x2 )
4
12k 2 4k 2 3
4k 2 12 4k 2 3 .
2
4
（II）设直线 AB 的方程为 y k(x 1)(k 0),
代入 x2 y2 1, 整理得 (1 2k 2 )x2 4k 2 x 2k 2 2 0. 2
直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根。
记 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB 中点 N (x0 , y0 ),
x
2
p )
2
x1
x2
p
(2
1 2
x1 ) (2
1 2
x2 )
.
即
x1
x2
2 3
(4
p)
.
……①
由（Ⅰ）知 x1 x2 , p 2 ，于是直线 AB 的斜率 k
y2 y1 x2 x1
m0 p 1
2m
，
p2
……
2
②
且直线 AB 的方程是 y 2m (x 1) , p2
所以
y1
3
3
由上知，满足条件的 m 、 p 存在，且 m 6 或 m 6 ， p 4 ．
3
3
3
解法二： 设 A、B 的坐标分别为 (x1, y1) ， (x2 y2 ) ．
因为 AB 既过 C1 的右焦点 F (1,0) ，又过 C2 的焦点 F ( p , m) ， 2
所以
AB
( x1
p 2
)
(
5 2
（2－x0）.
∵2－x0>0，∴ BM · BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，
故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 M（x1，y1），N（x2，y2），
则－2<x1<2，－2<x2<2，又 MN
的中点 Q
的坐标为（
x1