A2 A
,
其中
A1
b1
b2
a12 a22
, A2
a11
a21
b1 b2
.
现在把此结
论推广到 n 个未知数、 n 个方程的线性方程组的
情形. 定理 1.3 (克拉默法则)设 n 个未知数 x1, x2 ,…, xn n 个方程的线性方程组
a11x1 a12 x2 +…+a1n xn b1,
1 det AA1 det AdetA1,
所以 detA 0.
充分性:由例(1.32)的结果
AA* A*A diag A , A ,…,A A E,
当 A 0 时,有
A
1 A
A*
1 A
A*
A E.
由可逆矩阵的定义知 A 是可逆的,且 A1
1
A* ,
A
即(2)的结论也成立.
A+ 2E 都可逆,并求它们的逆阵. 解 由 A2 + A E 得
A A + E E,
由定理 1.2 之推论知, A 可逆,且 A1 A E.
又由 A2 + A E 得 A2 A - 2E E, 即
A + 2E A E E, A + 2E E A E,
同理,知 A+ 2E 可逆,且
a21x1
a22 x2 +…+a2n xn …………
b2 ,
an1x1 an2 x2 +…+ann xn bn ,
(1.19)
如果系数矩阵行列式 A 0 ,则方程组(1.19)有唯 一解:
x1
A1 A
, x2
A2 A
,…, xn
An A
,
其中 n 阶矩阵 Aj j 1, 2,…, n 是把系数矩阵 A
A1A2…As 1 As1…A21A11.
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
A1 1 A* . A
于是
A11 A21 A31 1 2 6
A*
=
A12
A22
A32
1
2
7
,
A13 A23 A33 1 1 2
由公式(1.18)
1 2 6
A1
1 A
A*
1
1
2 1
7 . 2
比较解一与解二,显见解一较简单.
例 1.36 设方阵 A 满足 A2 + A E, 证明 A 和
a
c
b d
1
ad
1
bc
d c
b a
.
上面的结果,可当公式使用.（两调一除）
例 1.35 求方阵
3 2 2
A
=
5
4
1
1 1 0
的逆矩阵.
解法一 用初等行变换.(只用行变换)
3 2 2 1 0 0
1 1 0 0 0 1
A,
E
5
4
1
0
1
0
r1r3
5
4
1
0
1
0
1 1 0 0 0 1
x
=
x2
1
A12
A22
A
xn
A1n A2n
An1 b1
An2
b2
Ann bn
b1 A11 b2 A21
1
b1
A12
b2 A22
A
b1 A1n b2 A2n
bn An1
bn
An2
.
bn Ann
另一方面
a11 b1
Aj
a21
b2
7 , 2
由定理 1.3, A 可逆,且
1 2 6
A1
=
1
2
7 .
1 1 2
解法二 用公式(1.18).
A = -1 0, 故 A 可逆.再计算 A 的代数余子式:
A11 1, A12 1, A13 1,
A21 2, A22 2, A23 1, A31 6, A32 7, A33 2,
AB E 的两边,得 A1A B A1, 即 A1 B.
上述结论对一阶方阵也是成立的.事实上,对于一
阶方阵 a ,当 a 0 时, a 1 1 ,由定理 1.2 的推论,
a 可逆,且 a1 1 .
a
a
方阵是否可逆,还有其他的判别方法,这将在以后
章节中陆续介绍.
例 1.33 判别矩阵 A 是否可逆?
2 1 1
A
=
0
1
5 .
1 1 3
21 1 解 A = 0 1 5 6 5 110 0.
11 3
由定理 1.2,矩阵 A 不可逆. 求可逆矩阵的逆阵是一种运算,它满足下述运算
规律:
( İ )若 A 可逆,则 A1 亦可逆,且
A1
1
A;
( İİ )若 A 可逆, 0 则 A 也可逆,且
方阵 A 是否可逆是 A 的一个重要属性,可逆矩阵
在线性代数的理论和应用中都起着重要的作用. 引入逆阵的概念后,就可以回答本节一开始提出
的问题.如果现行方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 是
可逆的,则它有解 x = A1b..接下来需要解决的问
题是如何判别方阵 A 是否可逆?如果 A 可逆,如何 求他的逆阵 A1 ?下面的定理回答了这两个问题.
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
aa0 02aa11
+a2 2, +4a2 3,
a0 3a1+9a2 5.
其系数行列式
11 1 D=1 2 4,
139
它的转置是一个范德蒙行列式.例 1.26,
D (2 1)(3 1)(3 2) 2 0
由克拉默法则,方程组有唯一解,且
211
1 a0 = D 3
2
4 4 2; 2
2
0 1
0
1
2
01 0
=
1
2
1
1
1
2
1
1
2 0
1
2
.
五、逆矩阵在加密传输中的应用
可逆方阵可用来对需传输的信息加密.首先给每 个字母指派一个码字,例如表 1.4 所示.
表 1.4
字
空
母abcdefghi j k l m n o p q r s t u v w x y z 格
=
2 1
0 2
,
BA
A B, 求矩阵
解 由 BA A B, 得 B A - E A
由于
A
-
E
=
1 1
0 1 ,
其行列式 A - E = 1 0, 故 A - E 可逆,用
A - E 1 右乘(1.22)式得两边,得
B A - E A - E 1 A A - E 1 .
于是 B = A A - E 1
an1 bn 第 j列
(1.20)
a1n a2n
ann
关注(1.20)式等号两边的第 j 个分量,即得
xj
Aj A
, j 1, 2,
n.
（略）例 1.37 设平面上二次曲线
y a0 a1x a2 x2
过三点(1,2),(2,3),(3,5),求此曲线方程.
解 把三个点的坐标代入曲线方程,得线性方程 组
B = BE B AC BAC EC C,
所以 A 的逆阵是唯一的.将 A 的逆阵记作
A1 ,即有
A1A AA1 E.
对于定义 1.11,读者应注意:
(1)可逆矩阵一定是方阵,并且其逆阵为同阶 方阵;
（2）（1.17）式中,矩阵 A 与 B 的地位是对称的. 所以,由(1.17)式, B 也是可逆阵,并且 A 与 B 互为 可逆阵,即 B = A1 ,同时 A = B1 .
的第 j 列用常数向量 b = b1,b2,…,bn T 代替后所
得的矩阵.
证 把方程组(1.19)写成矩阵形式
Ax = b,
(1.19’)
其中
x1 b1
x
=
x2
,
b
=
b2
,
xn
bn
分别是未知数向量和常数向量.
因 A 0, 故 A1 存在,令 x0 A1b ,有
Ax0 = A A1b = AA1 b b,
539
121
1
1
a1 = D 1
3
4 ; 2
15 9
11 2
1
1
a2 = D 1
2
3 . 2
135
所以该二次曲线的方程为 y 2 1 x 1 x2. 22
对于线性方程 (1.19′),若常数向量 b 0 ,
即 b1 b2 bn 0, 得齐次线性方程
Ax 0.
(1.21)
显然 x 0 ,即 x1 x2 xn 0 是它的解.这 个解成为方程(1.21)的零解;若 x 0 是方程(1.21)
§5 可逆矩阵及应用举例