含30度角的直角三角形（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为 A ．3B ．4C ．6D ．82．（2018秋•东城区期末）如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为 A ．2B ．4C ．6D ．83．（2019春•昌平区校级月考）如图，若，，，则 A ．B ．C ．D ．4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，中，，，，点是边上的动点，则的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．45．（2018春•海淀区校级期中）已知直角三角形中，，，若，则长为 A ．2B ．4C ．3D ．ABC BA BC =120ABC ∠=︒D AC 6BC =BD ()ABC ∆90A ∠=︒30C ∠=︒AD BC ⊥D BE ABC ∠AD P 2AP =AC ()30B ∠=︒90C ∠=︒20AC m =(AB =)25m 30m 40m ABC ∆90C ∠=︒30A ∠=︒4AB =P AC BP ()ABC 30A ∠=︒90C ∠=︒AC =AB ()二．填空题（共7小题）6．（2019秋•延庆区期末）如图，与交于点，，，，则的度数是 ．7．（2019秋•丰台区期末）如图，中，，，交于点，，则 ．8．（2019秋•延庆区期末）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则 ．9．（2019秋•海淀区校级期中）如图，在中，，，平分交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为 ．10．（2019秋•西城区校级期中）等腰三角形的顶角是，底边上的高是3，则腰长为 ．11．（2019秋•海淀区校级期中）已知，如图，，，则的面积为 ．12．（2019秋•海淀区校级期中）中，，，， ．三．解答题（共3小题）13．（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在中，，，求的长．14．（2014秋•海淀区校级期末）等腰三角形中，，，求边上的高的长．EC DA B 90ACB ∠=︒60A ∠=︒BD BE =DEB ∠ABC ∆AB AC =120BAC ∠=︒AD AC ⊥BC D 3AD =BC =ABC ∆90A ∠=︒CD ACB ∠DE BC 2DE =AB =ABC ∆AB BC =30ABC ∠=︒BD ABC ∠AC D BC EF BC E BD F 6BF =AC 120︒6AB BC ==15A ∠=︒ABC ∆Rt ABC ∆90C ∠=︒2B A ∠=∠4BC cm =AB =cm ABC ∆8AB AC ==120A ∠=︒BC ABC 30A ∠=︒8AB =AB CD15．（2014•顺义区一模）如图，在四边形中，，，，，求的长．ABCD 90B D ∠=∠=︒60C ∠=︒4BC =3CD =AB含30度角的直角三角形（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•西城区期末）如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为 A ．3B ．4C ．6D ．8【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：，，，为边的中点，，，， 故选：．【点评】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．2．（2018秋•东城区期末）如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为 A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】易得的等边三角形，则，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质来求的长度，然后在等腰中得到的长度，则易求的长度．【解答】解：中，，，．又是的平分线，ABC BA BC =120ABC ∠=︒D AC 6BC =BD ()BA BC =Q 120ABC ∠=︒30C A ∴∠=∠=︒D Q AC BD AC ∴⊥6BC =Q 132BD BC ∴==A ABC ∆90A ∠=︒30C ∠=︒AD BC ⊥D BE ABC ∠AD P 2AP =AC ()AEP ∆2AE AP ==AEB ∆EB BEC ∆CE AC ABC ∆Q 90BAC ∠=︒30C ∠=︒60ABC ∴∠=︒BE Q ABC ∠，，，，．又，，则，的等边三角形，则，在直角中，，则，，．故选：．【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到是解题的关键．3．（2019春•昌平区校级月考）如图，若，，，则 A ．B ．C ．D ．【分析】根据含的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：，，，，故选：．【点评】此题考查含的直角三角形，关键是根据含的直角三角形的性质解答．4．（2019秋•海淀区校级月考）如图，中，，，，点是边上的动点，则的最小值为 30EBC ∴∠=︒60AEB C EBC ∴∠=∠+∠=︒C EBC ∠=∠60AEP ∴∠=︒BE EC =AD BC ⊥60CAD EAP ∴∠=∠=︒60AEP EAP ∠=∠=︒AEP ∴∆2AE AP ==AEB ∆30ABE ∠=︒24EB AE ==4BE EC ∴==6AC CE AE ∴=+=C 30︒60AEB ∠=︒30B ∠=︒90C ∠=︒20AC m =(AB =)25m 30m 40m 30︒30B ∠=︒Q 90C ∠=︒20AC m =40AB m ∴=D 30︒30︒ABC ∆90C ∠=︒30A ∠=︒4AB =P AC BP ()A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先根据直角三角形30度角的性质得的长，根据垂线段最短可得是的最小值．【解答】解：，，，， 点是边上的动点，则当与重合时，的值最小为2，故选：．【点评】本题考查了直角三角形30度角的性质，点到直线的距离，熟练掌握垂线段最短是关键．5．（2018春•海淀区校级期中）已知直角三角形中，，，若，则长为 A ．2B ．4C ．3D ．【分析】根据计算． 【解答】解：，，， ， 故选：．【点评】本题考查了三角函数，熟练运用三角函数关系是解题的关键．二．填空题（共7小题）6．（2019秋•延庆区期末）如图，与交于点，，，，则的度数是 ．【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：，，，，BC BC BP 90C ∠=︒Q 30A ∠=︒4AB =114222BC AB ∴==⨯=Q P AC P C BP B ABC 30A ∠=︒90C ∠=︒AC =AB ()cos AC A AB =∠30A ∠=︒Q 90C ∠=︒AC =∴cos cos30AC A AB =∠=︒=4AB ∴==B EC DA B 90ACB ∠=︒60A ∠=︒BD BE =DEB ∠75︒90ACB ∠=︒Q 60A ∠=︒30ABC DBE ∴∠=∠=︒BE BD ∴=， 故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内角和，对顶角的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．7．（2019秋•丰台区期末）如图，中，，，交于点，，则　9　．【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．【解答】解：，，，，，又，，，，，，，，故答案为：9．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．8．（2019秋•延庆区期末）如图，在中，，是的平分线，垂直平分，若，则　6　．【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：是的平分线，，垂直平分，1(18030)752DEB ∴∠=︒-︒=︒75︒ABC ∆AB AC =120BAC ∠=︒AD AC ⊥BC D 3AD =BC =30B C ∠=∠=︒CD BD AB AC =Q 120BAC ∠=︒30B C ∴∠=∠=︒AD AC ⊥Q 90DAC ∴∠=︒30C ∠=︒26CD AD ∴==120BAC ∠=︒Q 90DAC ∠=︒30BAD ∴∠=︒DAB B ∴∠=∠3BD AD ∴==9BC BD CD ∴=+=30︒ABC ∆90A ∠=︒CD ACB ∠DE BC 2DE =AB =CD Q ACB ∠ACD BCD ∴∠=∠DE Q BC，，，，，，，，，故答案为：6．【点评】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．9．（2019秋•海淀区校级期中）如图，在中，，，平分交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为　6　．【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出，进而利用含的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：连接，如图所示：在中，，平分交于点，，，的垂直平分线交于点，，，，，， ，BD CD ∴=DCB B ∴∠=∠2ACB B ∴∠=∠90A ∠=︒Q 30B ∴∠=︒90DEB ∠=︒Q 24BD CD DE ∴===2AD DE ==6AB ∴=ABC ∆AB BC =30ABC ∠=︒BD ABC ∠AC D BC EF BC E BD F 6BF =AC 6CF BF ==30︒CF Q ABC ∆AB BC =BD ABC ∠AC D AD DC ∴=BD AC ⊥BC Q EF BC E 6BF CF ∴==230DFC DBC ABC ∴∠=∠=∠=︒BD AC ⊥Q 90BDC ∴∠=︒132DC CF ∴==26AC DC ∴==故答案为：6．【点评】此题考查含角的直角三角形，关键是根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得出解答．10．（2019秋•西城区校级期中）等腰三角形的顶角是，底边上的高是3，则腰长为　6　．【分析】画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含的直角三角形的性质可求得腰的长．【解答】解：如图，，于点，，，，． 故答案为：6．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质；求得的角是正确解答本题的关键．11．（2019秋•海淀区校级期中）已知，如图，，，则的面积为　9　．【分析】根据等腰三角形的性质得到，由三角形的外角的性质得到，过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】解：，，，， 过作交的延长线于，，，的面积为， 故答案为：9．30︒CF BF =120︒30︒AB AC =AD BC ⊥D 3AD =120BAC ∠=︒120BAC ∠=︒Q AB AC =(180)230B C BAC ∴∠=∠=︒-∠÷=︒AD BC ⊥Q 1362AB ∴=÷=30︒30︒6AB BC ==15A ∠=︒ABC ∆15ACB A ∠=∠=︒30CBD A ACB ∠=∠+∠=︒C CD AB ⊥AB D 132CD BC ==6AB BC ==Q 15A ∠=︒15ACB A ∴∠=∠=︒30CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒C CD AB ⊥AB D 90D ∴∠=︒132CD BC ∴==ABC ∴∆1163922AB CD =⨯⨯=g【点评】本题考查了含直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2019秋•海淀区校级期中）中，，，，　8　．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”和“30度角所对的直角边等于斜边的一半”解答．【解答】解：如图，在中，，，， ，．故答案是：8．【点评】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．三．解答题（共3小题）13．（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在中，，，求的长．【分析】过点作于．解直角三角形求出，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点作于．，，，，30︒Rt ABC ∆90C ∠=︒2B A ∠=∠4BC cm =AB =cm Q Rt ABC ∆90C ∠=︒2B A ∠=∠190303A ∴∠=︒⨯=︒4BC cm =Q 28AB BC cm ∴==30︒ABC ∆8AB AC ==120A ∠=︒BC A AD BC ⊥D BD A AD BC ⊥D AB AC =Q 120BAC ∠=︒30B C ∴∠=∠=︒2BC BD =在中，，，，，．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2014秋•海淀区校级期末）等腰三角形中，，，求边上的高的长．【分析】①当为底角时，首先计算出，然后再计算出的度数，再根据直角三角形的性质可得的长，再利用勾股定理计算出长即可；②当为顶角时，直接利用在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得答案；③当为底角，为底边，利用勾股定理以及在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得答案．【解答】解：①当为底角时，，，，，，，， ；②当为顶角时，，， ，，，③当为底角，为底边，则，，，，Rt ABD ∆90ADB ∠=︒30B ∠=︒8AB =cosBD B AB=cos308BD AB ∴=︒==BC ∴=ABC 30A ∠=︒8AB =AB CD A ∠60CBD ∠=︒BCD ∠BD CD A ∠30︒A ∠AB 30︒A ∠30A ∠=︒Q 8AB CB ==30ACB ∴∠=︒60CBD ∴∠=︒CD AD ⊥Q 30BCD ∴∠=︒142BD CB ∴==CD ∴===A ∠CD AB ⊥Q 12CD AC ∴=AB AC =Q 8AC ∴=4CD ∴=A ∠AB AC BC =AC BD =CD AB ⊥Q 4AD BD ∴==设，则，故，解得：， 综上：边上的高的长为4或【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．15．（2014•顺义区一模）如图，在四边形中，，，，，求的长．【分析】延长，，交于点，可得出三角形与三角形相似，由相似得比例，设，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到，利用勾股定理表示出，由表示出，在直角三角形中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到，即可求出的长．【解答】解：延长，，交于点，，，，， 在中，，设，则有，根据勾股定理得：，DC x =2AC x =22244x x +=x=CD ∴=AB CD 30︒ABCD 90B D ∠=∠=︒60C ∠=︒4BC =3CD =AB DA CB E ABE CDE AB x =2AE x =BE BC BE +CE DCE 2DC CE =AB DA CB E E E ∠=∠Q 90ABE D ∠=∠=︒ABE CDE ∴∆∆∽∴AB AE CD EC=Rt ABE ∆30E ∠=︒AB x =2AE x =BE ==，在中，，，即， 解得：则【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．4CE BC BE ∴=+=+Rt DCE ∆30E ∠=︒12CD CE ∴=1(4)32+=x =AB =。