第一章．波动方程§1方程的导出。

定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(t x u ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ其中为杆的密度，为杨氏模量。

ρE 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。

现在计算这段杆在时x +x x ∆刻的相对伸长。

在时刻这段杆两端的坐标分别为：t t ),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆−+−∆++∆+θ令，取极限得在点的相对伸长为。

由虎克定律，张力等于0→∆x x x u ),(t x ),(t x T ),()(),(t x u x E t x T x =其中是在点的杨氏模量。

)(x E x 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(x S ),(x x x ∆+x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(−∆+∆+利用微分中值定理，消去，再令得x ∆0→∆x tt u x s x )()(ρx∂∂=x ESu ()若常量，则得=)(x s =22)(tu x ∂∂ρ)((x u x E x ∂∂∂∂即得所证。

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为l x x ==,0.0),(,0),0(==t l u t u (2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边l x =l x =xux E t l T ∂∂=)(),(l x =界条件为|=0xu∂∂l x =同理，若为自由端，则相应的边界条件为∣0=x xu∂∂00==x (3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移l x =由函数给出，则在端支承的伸长为。

由虎克定律有)(t v l x =)(),(t v t l u −∣xuE∂∂)](),([t v t l u k l x −−==其中为支承的刚度系数。

由此得边界条件k ∣其中)(u xuσ+∂∂)(t f l x ==Ek =σ特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件,0)(=t v ∣。

)(u xuσ+∂∂0==l x 同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件0=x ∣x uE∂∂)](),0([0t v t u k x −==即∣)(u xuσ−∂∂).(0t f x −=3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(t uh x x u h x x E ∂∂−=∂∂−∂∂ρ其中为圆锥的高(如图1)h 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径为：l hxl −=1所以截面积。

利用第1题，得2)1()(hx x s −=π1([)1()(2222x u h x E xt u h x x ∂∂−∂∂=∂∂−ππρ若为常量，则得E x E =)(22221(1[(tu h x x u h x x E∂∂−=∂∂−∂∂ρ4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为l ρx )(x T )()(x l g x T −=ρ且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。

仍以表示弦上各点在时刻沿垂直于)(x T x ),(t x u t x 轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为),,(x x x ∆+u )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ∆+∆+−−θρθρ其中表示方向与轴的夹角)(x θ)(x T x 又.sin x u tg ∂∂=≈θθ于是得运动方程∣∣x u x x l tu x ∂∂∆+−=∂∂∆)]([22ρx ux l g x x ∂∂−−∆+][ρgx ρ利用微分中值定理，消去，再令得x ∆0→∆x 。

)[(22x ux l x g t u ∂∂−∂∂=∂∂5.验证在锥>0中都满足波动方程2221),,(y x t t y x u −−=222y x t −−222222yux u t u ∂∂+∂∂=∂∂证：函数在锥>0内对变量有2221),,(y x t t y x u −−=222y x t −−t y x ,,二阶连续偏导数。

且ty x t tu ⋅−−−=∂∂−23222)(2252222322222)(3)(t y x t y x t t u⋅−−+−−−=∂∂−−)2()(22223222y x t y x t ++⋅−−=−xy x t xu ⋅−−=∂∂−23222)(()()22522223222223x y x t y x t xu −−−−+−−=∂∂()()222252222y x t y x t −+−−=−同理()()22225222222y x t y x t y u+−−−=∂∂−所以()().222222252222222t uyx t y x t yu xu ∂∂=++−−=∂∂+∂∂−即得所证。

6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质()x x x ∆+,量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为tub∂∂−()x x x ∆+,()()tuxx s x p b ∂∂∆⋅⋅−运动方程为:()()()()t u xx s x b x x u ES t u ES t ux x s x x x ∂∂∆⋅−∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=∂∂⋅∆∆+ρρ22利用微分中值定理，消去,再令得x ∆0→∆x ()()()().22tux s x b x u ES x t u x s x ∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ若常数，则得=)(x s ()()t u x b x u E x tu x ∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ρρ22若()()则得方程令也是常量是常量,.,2ρρρEa E x E x ===.22222xu a t u b t u ∂∂=∂∂+∂∂§2达朗贝尔公式、波的传抪1.证明方程()常数011122222f h t uh x a x u h x x ∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∂∂的通解可以写成()()xh at x G at x F u −++−=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t Ψ=∂∂==ϕ解：令则()v u x h =−()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−=∂∂−∂∂+=∂∂−x v u x h xu x h xv u xu x h 2,)(()()(()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+−=∂∂−+∂∂−+∂∂+−=∂∂−∂∂又()2222tvt u x h ∂∂=∂∂−代入原方程，得()()222221t vx h a x v x h ∂∂−=∂∂−即222221t v a x v ∂∂=∂∂由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++−=,所以()()()x h at x G at x F u −++−=为原方程的通解。

由初始条件得()()()[])1(1x G x F x h x +−=ϕ()()()[]x aG x aF xh x //1+−−=ψ所以()()()())2(1cd h a x G x F xx +−=−∫ααψα由两式解出)2(),1(()()()()()22121cd h a x x h x F xx o+−+−=∫ααψαϕ()()()()()22121c d h a x x h x G xx o+−−−=∫ααψαϕ所以)]()()()[()(21),(at x at x h at x at x h x h t x u +−−+−+−−=ϕϕ+∫+−−−at x at x h x h a ()()(21ψα.)ααd 即为初值问题的解散。

２．问初始条件与满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波)(x ϕ)(x ψ组成？解：波动方程的通解为u=F(x-at)+G(x+at)其中F ，G 由初始条件与决定。

初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对)(x ϕ)(x ψ于任何有G(x+at)常数.t x ,≡即对任何x,G(x)C ≡0又G （x ）=∫−+x x aCd a x 02)(21)(21ααψϕ所以应满足)(),(x x ψϕ（常数）+)(x ϕ∫=xx C d a 01)(1ααψ或(x)+=0'ϕ)(1x a3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=−).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψϕ())0()0(ψϕ=解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令x-at=0得=F （0）+G （2x ）)(x ϕ令x+at=0得=F （2x ）+G(0))(x ψ所以F(x)=-G(0).2(x ψG （x ）=-F(0).)2(xϕ且F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ=所以u(x,t)=+-(ϕ)2at x +)2(atx −ψ).0(ϕ即为古尔沙问题的解。

4．对非齐次波动方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<−∞=∂∂==+∞<<−∞>=∂∂−∂∂)()(),(,0),0(),(22222x x t u x u t x t t x f x u a t u ψϕ证明：（1）如果初始条件在x 轴的区间[x ,x ]上发生变化，那末对应的解在区间[，121x ]的影响区域以外不发生变化；2x （2）在x 轴区间[]上所给的初始条件唯一地确定区间[]的决定区2,1x x 21,x x 域中解的数值。