∆u = 0 ，所以 u 为调和函数
(2) x 2 − y 2 和2 xy
∂ 2u ∂ 2u = 2 , = 2, 。所以 ∆u = 0 。u 为调和函数 ∂x 2 ∂y 2
令
v = 2 xy
∂ 2v ∂x 2 = 0,
则
∂ 2v = 0 。所以 ∆v = 0 。v 为调和函数 ∂y 2
(3) x 3 − 3 xy 2 和3 x 2 y − y 3
所以 u, v 皆为调和函数。 （5） 。证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程 （1） ln r和θ 证： 令u = ln r ,由第1题知, u为调和函数 。
令v = θ , 则显然
∂ 2v ∂ 2v ∂v 0 , = 0 , = 0, 故 = ∂r ∂r 2 ∂θ 2 ∂ 2 v 1 ∂v 1 ∂ 2 v =0 + + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2
x = ρ cos ϕ ，
y = ρ sin ϕ
z = r cosθ
（2） （3）
ρ = r sin θ ，
由（2）
∂u ∂u ∂u = cos ϕ + sin ϕ ∂ρ ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u = (− ρ sin ϕ ) + ( ρ cos ϕ ) ∂ϕ ∂x ∂y
证： 令
∂u = chx(chx + cos y ) −1 − sh 2 x (chx + cos y ) −2 ∂x
= (chx + cos y ) −2 (1 + chx cos y )
∂ 2u ∂x
2
= (chx + cos y ) −2 shx cos y − 2(chx + cos y ) −3 shx(1 + chx cos y )
= (chx + cos y ) −3 ( shxchx cos y + shx cos 2 y + shxchx cos y )
∂ 2u ∂x
2
+
∂ 2u ∂y
2
= (chx + cos y ) −3 (2 shx cos 2 y − 2shx + 2shx sin 2 y )
= (chx + cos y ) −3 [2 shx (cos 2 y + sin 2 y ) − 2shx ] = 0 令v = sin y (chx + cos y ) −1
f (r ) = c1 + A1 Inr
1 r
f (r ) = c1 + c 2 In
2． 证明拉普拉斯算子在球面坐标 (r ,θ , ϕ ) 下，可以写成
∆u = =0
1 r2
⋅
∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r )+ 2 ⋅ (sin θ )+ 2 ⋅ ∂r ∂r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ ∂ϕ 2
2
=
∂ 2u ∂ρ 2 ∂ 2u ∂z
2
+
1
ρ 2 ∂ϕ 2
∂ 2u ∂ρ
2
⋅
∂ 2u
+
1 ∂u ⋅ ρ ∂ρ 1 ⋅ ∂ 2u ∂ϕ
2
（5）
+
+
=
+
∂ 2u ∂z
2
+
ρ
2
+
1 ∂u ⋅ ρ ∂ρ
再用（3）式，变换
∂ 2u ∂ρ 2
+
∂ 2u ∂z 2
。这又可以直接利用（5）式，得
∂ 2u ∂ρ 2
1 r
(n ≠ 2) (n = 2)
f (r ) = c1 + c 2 In
其中 c1 , c 2 为常数。 证：
u = f (r ) ,
∂ 2u ∂xi2
n
x ∂u ∂r = f ' (r ) ⋅ = f ' (r ) ⋅ i ∂xi ∂xi r
= f " (r ) ⋅
n
Hale Waihona Puke xi2xi2 1 ' ' + f ( r ) ⋅ − f ( r ) ⋅ r r2 r3
= (chx + cos y ) −3 (2 sin y + sin y cos ychx − 2 sin ych 2 x)
∂ 2v ∂x
2
+
∂ 2v ∂y
2
= (chx + cos y ) −3 (2 sin ysh 2 x − 2 sin ych 2 x + 2 sin y )
= (chx + cos y ) −3 [−2 sin y (ch 2 x − sh 2 x) + 2 sin y ] = 0
n −1 ' f (r ) = 0 r
n −1 r
所以 若 n ≠ 2 ，积分得
f ' (r ) = A1r −( n−1)
f (r ) =
A1 r −n+ 2 + c1 −n+2
即 n ≠ 2 ，则
f (r ) = c1 +
f ' (r ) = A1 r
r n−2
故
c2
若 n = 2 ，则 即 n = 2 ，则
∑ ∂x 2
i =1 i
∂ u
2
= f " (r ) ⋅ i =1 2 r
∑ xi2
+ f ' (r ) ⋅
n − f ' (r ) ⋅ i =1 3 r r
∑ xi2
n
= f " (r ) +
n −1 ' f (r ) r
即方程
∆u = 0 化为
f " (r ) +
f " (r ) f ' (r ) =−
证：柱坐标 (r ,θ , z ) 与直角坐标 ( x, y , z ) 的关系
x = r cosθ ，
利用上题结果知
y = r sin θ ，
z=z
∂ 2u ∂x
2
+
∂ 2u ∂y
2
=
∂ 2u ∂r
2
+
1 ∂ 2u r ∂θ
2 2
+
1 ∂u r ∂r
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u = (r ) + 2 r ∂r ∂r r ∂θ 2
第三章
§1 建 立 方
调
程
和
定 解
方
条
程
件
1． 设 u ( x1 , x 2 , L , x n ) = f ( r ) ( r =
2 2 x1 + L + xn ) 是 n 维调和函数（即满足方程
∂ 2u
2 ∂x1
+L+
∂ 2u
2 ∂x n
= 0） ，试证明
c2
f (r ) = c1 +
r n−2
= (chx + cos y ) −3 ( shxcox 2 y − 2shx − shxchx cos y )
∂u = shx sin y (chx + cos y ) −2 ∂y
∂ 2u ∂y
2
= shx sin y (chx + cos y ) −2 + 2(chx + cos y ) −3 shx sin 2 y
⋅
∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r )+ 2 ⋅ (sin θ )+ 2 ⋅ =0 ∂r ∂r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ ∂ϕ 2
3． 证明拉普拉斯算子在柱坐标 (r ,θ , z ) 下可以写成
∆u =
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u ∂ 2 u ⋅ (r ) + 2 ⋅ 2 + 2 r ∂r ∂r r ∂θ ∂z
+
∂ 2u ∂z 2
=
∂ 2u ∂r 2
+
1
r 2 ∂θ 2
⋅
∂ 2u
1 ∂u + ⋅ r ∂r
再利用（4）式，得
∂u ∂u ∂u cosθ = sin θ + ⋅ ∂ρ ∂r ∂θ r
所以
∂ 2u ∂x +
2
+
∂ 2u ∂y
2
+ ⋅
∂ 2u ∂z
2
= +
∂ 2u ∂r
2
+
1 r
2
⋅
1 ∂u + ⋅ + r ∂r ∂θ
即∆( shny sin nx ) = 0
( shny sin nx ) xx = − (shny sin nx) yy
shny sin nx为调和函数
同理，其余三个函数也是调和的 （5）
shx (chx + cos y ) −1 和 sin y (chx + cos y ) −1 u = shx (chx + cos y ) −1
∂v = − shx sin y (chx + cos y ) −2 ∂x
∂ 2v ∂x
2
= − sin ychx(chx + cos y ) −2 + 2(chx + cos y ) −3 sh 2 x sin y
= (chx + cos y ) −3 (2 sh 2 x sin y − sin ych 2 x − sin ychx cos y )
∆v = [n(n − 1)r n− 2 + nr n− 2 − n 2 r n − 2 ] sin nθ = 0