如果把轻杆换成细绳，情况
怎样？如果把轻杆换成细绳，且小球带正电、
空间存在一场强为E方向竖直向上的匀强电
场，则小球能做整个圆周运动的临界速度怎
样？
(1)若将轻杆换成细绳，临界条件是
mg

m
v2 R
，v临界

Rg，即细绳只能产生拉力，
所以只有答案A、B正确.
(2) 若 将 小 球 置 于 匀 强 电 场 中 ① 当 qE=mg时，小球在整个圆周上都不会脱轨，
由牛顿第三定律知，FN2 与FN2′等值反向.
2.圆周运动中的临界问题 如图2所示，一轻杆一端固定质量 为m的小球，以另一端O为圆心，使小 球做半径为R的圆周运动，以下说法正 确的是( )
图2
A.小球过最高点时，杆所受的弹力 可以等于零
B.小球过最高点时的临界速度为 gR C.小球过最高点时，杆对球的作用 力可以与球所受重力方向相反，此时重 力一定大于杆对球的作用力 D.小球过最高点时，杆对球作用力 一定与小球所受重力方向相反
②
r 因为θ很小，有： tan
sin

h
③
L
由②③可得： v ghr
④
代入数据得： L
v=15m/s=54km/h.
(3)由④式可知，可采取的有效措施有： a.适当增大内外轨的高度差h； b.适当增大铁路弯道的轨道半径r.
点评：火车转弯问题：在火车转弯处，铁 轨做成外高内低，为的是在火车以规定速度转 弯时由重力的分力提供向心力，以减小对铁轨 侧面的压力，当火车转弯速率小于规定的数值 时重力的分力大于所需的向心力，使内轨受的 压力增大．
r/m
660 330 220 165 132 110
内外轨道高 度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表 达式，并求出当r=440m时，h的设计值；
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为 保证绝对安全，要求内外轨道均不向车 轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外
xAC=vBt ⑤
2
由④⑤得：xAC=1.2m.
易错题：如图4所示，使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点上升，那么在最低点需给它 的最小速度为多大时，能使它到达最高点？
图4
【错解】根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点
A时的势能等于它在圆形轨道最低点时的动能，
所以mg 2R
=
1 2
mvB2，解得vB
做匀速圆周运动，速度v可以是不等于零的 任何值.
②当qE＜mg时，小球不会在下半圆脱
轨，最容易脱轨是最高点.由临界条件：
mg qE m v2 R
得：
v临界
R(g qE ) m
Rg qER m
③当qE＞mg时，小球不会在上半圆 脱轨，最容易脱轨是最低点(等效最高 点).由临界条件：
当汽车经过凹桥面最低点时，
设桥面支持力为FN1，
由牛顿第二定律有：
FN1

mg

m
v2 R
要求FN1≤2.0×105N 解得允许的最大速度vm=7.07m/s 由上面的分析可知，汽车经过凸桥顶点时
对桥面的压力最小，设为FN2′.如图(乙)所示，
由牛顿第二定律有：
mg

FN2

m
vm2 R
解得：FN2=1.0×105N.
当NA = 0时，vB取最小值所以在B点应使小球至少
具有vB = 5gR的速度．
点评：物体能否做圆周运动，不是我们想 象它怎样就怎样，而是要能从实际情况中找 到．
图3
匀减速运动过程中，有：vA2-v02=-2ax ①
恰好做圆周运动时，物体在最高点B满足：
mg m vm2
②
R
解得：vm=2m/s
假设物体能达到圆环的最高点B，由机械能
守恒得：
1 2
mvA2

2mgR

1 2
mvB2
③
联立①③可得：vB=3m/s
因为vB＞vm,所以小球能通过最高点B. 小球从B点做平抛运动，有：2R 1 gt2④
(1)分析表中数据可得，每组的 h与r之乘积均等于常数.
C=660m×50×10-3m=33m2
即hr=33或 (h 33 1) ①
r
当r=440m时，有：
h 33 m=0.075m=75mm 440
(2)转弯中，当内、外轨对车轮没有侧向压力
时，火车的受力如图所示.由牛顿第二定律得：
mg tan m v2
如图1所示，汽车质量为 1.5×104kg，以不变的速率先后驶过凹形桥 面和凸形桥面，桥面圆弧半径为15m，如果 桥面承受的最大压力不得超过2.0×105N， 汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率 驶过桥面的最小压力是多少?(g=10m/s2)
图1
首先要确定汽车在何位置时对桥面的压 力最大.汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向 上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加 速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经 过凹形桥面的最低点时如图(甲)所示，汽车对桥面 的压力最大.
轨的间距设计值为Ｌ=1425mm，结合表
中 数 据 ， 算 出 我 国 火 车 的 转 弯 速 率 v( 以 km/h为单位，结果取整数)；(路轨倾角很 小时，正切值按正弦值处理)
(3)随着经济的发展和人们生活节奏的 加快，对交通运输的快捷提出了更高的要 求.为了提高运输力，国家不断对火车进行 提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高. 请根据上述计算原理分析提速时应采取怎 样的有效措施提高铁路的转弯速率.
=
2
gR
【错解分析】小球到达最高点A时的速度vA不能为零，
否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道．
【正解】以小球为研究对象，小球在轨道最高点时
受重力和轨道给的弹力，满足方程mg
+ NA
=
mvA2 R
①
根据机械能守恒
1 2
mvA2
+2mgR=来自1 2mvB2
②
联立①②解得vB =
R 5gR + m N A
抛体运动与圆周运动 万有引力定律
圆周运动的实例分析
1.圆周运动的实际应用举例 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决
定的.弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高 度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在 弯道上的行驶速率.下面表格中的数据是铁路 设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的 轨道的高度差h.
弯道半径
弹力可取任意值．但可以进一步讨论：当v> gR 时物体受到的弹力必然是向下的；当v< gR时 物体受到的弹力必然是向上的；当v= gR时物体受 到的弹力恰好为零．当弹力大小F<mg时，向心力 有两解：mg±F；当弹力大小F>mg时，向心力只 有一解：F+mg；当弹力F=mg时，向心力等于零 或2mg.
qE mg m v2 得：
R
v临界
R( qE g) m
qER Rg m
3.圆周运动与其他知识综合应用 如图3所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨 道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相 切于圆环的端点A.一质量m=0.10kg的小球，以初 速 度 v0=7.0m/s 在 水 平 地 面 上 向 左 做 加 速 度 a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上 竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C间的距 离.（取重力加速度g=10m/s2)
小球用轻杆支持，过最高点的v临界=0， N=mg，方向向上，故B答案不正确.当杆对球 作用力与重力相反，即向上，当v=0时，重力 与支持力相等，故C错误.
当v= Rg 时，N=0，所以A正确.
当0＜v＜ Rg时，mg＞N＞0，N为支持力.
当v＞ Rg 时，N＞0，N为拉力，所以D不
正确.
点评：竖直面内圆周运动最高点处的受 力特点及分类：①弹力只可能向下，如绳拉 球．②弹力只可能向上，例如车过桥．③弹力 既可能向上又可能向下，如管内转球(或杆连 球、环穿珠)．