而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
行标、列标.
, ik , j1 , j2 ,
, jk分别为 k 阶子式在 D 中的
a11 a21 D a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
从中取第二 . 三行，第一. 三列， 交叉处元组成一个二阶子式， 记为M;M的余子式记为N，具体 写出来就是
a21 M a31
a23 a33
N
a12 a42
a14 a44
M的代数余子式为
1
2313
N N
定理 在 n 阶行列式中, 取定 k 行(列) (1 k n 1), 由这 k 行(列)组成的所有 k 阶子式与它们的代数余子
式的乘积之和等于行列式 D . 即 D M1 A1 M 2 A2 M t At
构成一个 k 阶行列式 M ，称为 D 的一个 k 阶子式.
定义 划去这 k 行 k 列，余下的元素按照原来的顺序
ik j1 j2 jk
构成一个 n k 阶行列式，称为 M 的余子式.在其前面
i1 i2 ( 1) 冠以符号
，称为 M 的代数余子式.
其中 i1 , i2 ,
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn a11 a12 a1n
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
例 1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一. 二行展开
1 1 0 1 2 1 D 0 1 3 0 0 1
0 0 1 4
例 1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一. 二行展开 1 1 0 0 解 1 2 1 0 D中由第一.二行的元组成的二阶子 D 0 1 3 1 式共有6即 C 2 个 4 0 0 1 4 1 1 1 0 1 0
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘方程组1的n个方程, 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
四、行列式按某k行(列)展开（Laplace定理）
位于这些行和列交叉处的 k 2个元素，按照原来的顺序
定义 在 n 阶行列式中,任意取定 k 行(列) (1 k n 1),
a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即D a n1 a n 2 a nn
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
例 1.16 解线性方程组
x1 3 x2 7 x3 2 2 x1 4 x2 3 x3 1 3 x 7 x 2 x 3 1 2 3
解： 系数行列式 1 3 7 D 2 4 3 196 3 7 2
由于系数行列式不为零， 所以可以使用克拉默法则， 方程组有唯一解。此时
1 D 2 3
3 4 7
7 3 196 2
2 D1 1 3
1
3 4 7
3 4 7
7 3 54 2
2 1 80 3

M 1
1, M 3
1 0 0
0
2 1 2 0 1 0 其中， M1 , M 2 , M 4的代数余子式为 1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 1 1 A1 1 13, A2 1 4 1 4 0 4
A4 1
1
2
7
D2 2 1 3 38 D3 2 3 3 3 2
则有
D1 54 27 D2 38 19 x1 , x2 , D 196 98 D 196 98 D3 80 20 x3 D 196 49
条件
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件