x1 x2 2x3 1 (2)

3x2 2x3 2
(4)

2x3 4 (6)
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未
知量，形状如阶梯，称此方程组为阶梯形方程组。
文科数学
x1 x2 2x3 1 (2)
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
文科数学
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形 成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
由于二元一次方程表示平面上的一条直线，所以 将一次方程称为线性方程，将一次方程组称为线性 方程组。
文科数学
线性方程组的一般形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

a21x1

a22 x2

a2n xn b2
(1)

am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1 1
故原方程组的解为
x 1 1 , x 2 2 , x 3 2
文科数学
从上述求解过程可以看出 加减消元法的基本思想就是：利用方程之间的算
术运算，每次消去一个未知量，得到一个比原方程 组少一个未知量的方程组，一次一次进行下去，直 至得到便于求解的一个形式简单的方程。
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求 解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
(4) (5)
该方程组比原方程组少一个未知量。
文科数学
33xx2242xx3322
(4) (5)
其次，用(4)消去(5)中的未知量 x2，由(5)-(4) 得
2x34 (6)
这比原方程组又少了一个未知量。
由(-1/2)×(6) 得
x32 (7)
最后，将(7)代回(4)中，即消去(4)中的 x3， 由2×(7)+(4) 得
文科数学
例1 求解线性方程组
2xx11

x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1，由 (-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3) 得
33xx2242xx3322
3x26 (8)
文科数学
2xx11

x2 x2
2x3 2x3
4 1
4x1 x2 4x3 2
(1) (2) (3)
x32 (7) 3x26 (8)
由(-1/3)×(8) 得
x22 (9)
将(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的 x2, x3，由 (-2)×(7)+(2)，(2)-(9) 得
文科数学
本节的主要内容
1、线性方程组
a11x1 a12 x2

a21x1

a22 x2


am1x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
解的讨论及其求解方法（m, n 未必相等）。
文科数学
2、数表
a11 a12 a1n
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数学
2xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4Βιβλιοθήκη (2) (1)4x1 x2 4x3 2 (3)
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得

x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
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随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入， 矩阵在18～19世纪期间应运而生，为处理线性问题提 供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外，很多实际问题的处理，最后往往归结 为线性问题，它比较容易处理；同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
文科数学
例1 求解线性方程组
2xx11

x2 x2
2x3 2x3
4 1
(1) (2)
4x1 x2 4x3 2 (3)
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置
12xx11
x2 x2
2x3 2x3
1 4
(2) (1)
4x1 x2 4x3 2 (3)
其中有 n 个未知量 x1,x2, ,xn，m 个方程，a ij R (i 1 , ,m ;j 1 , ,n )是未知量的系数，b1, ,bmR 是常数项。
若右端常数项 b1,b2, ,bm均为零，则称方程组为 齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。
文科数学
将要研究的问题 1、线性方程组是否有解？ 2、若有解，解是否唯一？ 3、有解时，如何求出全部的解？ 研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上，结合 具体的线性方程组，导出求解一般方程组的通用方 法：高斯消元法； 2、从实际例子出发，利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
文科数学

x1
x2 2x3 1 3x2 2x3 2
(2) (4)
3x2 4x3 2 (5)
第三步，消去第二个方程下面的各个方程中的 x2， (5)-(4) 得
A


a21
a22
a2n
am1 am2 amn
的线性运算（重要的工具）。
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§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
我们在中学已经学过它的解法，但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组， 且未知量个数和方程个数未必相同。