1．1.2 瞬时变化率——导数(一)
一、基础过关
1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ](Δt >0)内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是________．
2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率的值为________．
3．已知曲线y ＝12
x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 4．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程为______________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)
二、能力提升
5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝______时的瞬时速度为1.
6．一物体的运动方程是s ＝12
at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为________． 7．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．
8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.
9．求曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率．
10．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为s (t )＝v 0t －12
gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．
11．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间
的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598
s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
三、探究与拓展
12．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)
s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3t 2＋2 (t ≥3) ①29＋3(t －3)2 (0≤t <3) ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
答案
1．－6
2．6
3．45°
4．x －y －2＝0
5.114
6．at 0
7．4＋Δt 4
8.14
9．解 ∵Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)Δx
＝3(Δx )2＋4Δx Δx
＝3Δx ＋4. ∵当Δx 无限趋近于0时，3Δx ＋4无限趋近于4， ∴曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率为4.
10．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12
g (t 0＋Δt )2－ ⎝
⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12
g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12
g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt
无限趋近于v 0－gt 0. 故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.
11．解 令t 0＝6598
，Δt 为增量． 则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt
＝ －4.9×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝⎛⎭⎫65982－6.5×6598－10Δt
＝－4.9Δt ⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5Δt Δt
＝－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5，∴Δt →0.
∴h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt
→0 即运动员在t 0＝6598
s 时的瞬时速度为0 m/s. 说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处．
12．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为
Δt ＝5－3＝2，
物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为
Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为
Δs Δt ＝482
＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为
Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt
＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2
Δt
＝3Δt －18， ∵Δt 无限趋近于0时，
Δs Δt
＝3Δt －18无限趋近于－18， ∴物体的初速度v 0为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为
Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt
＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2
Δt
＝3Δt －12. 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt
＝3Δt －12无限趋近于－12， ∴物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。