平面体系的计算自由度W 的求法
（1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。

刚片数 m ；
约束数：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆数 b 。

W = 3m - 2h - 3g -b （2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。

结点数 j ；
约束数：链杆（含支杆）数 b 。

W = 2j – b
（3）组合算法
约束对象：刚片数 m ，结点数 j
约束条件：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆（含支杆）数 b
W = （3m + 2j）-（3+2h+ b）比较可得：三铰拱与简支梁的竖向支反力完全相同。

注意到水平支反力式中的分子就是简支
梁上截面C的弯矩，则水平支反力可写作：
综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下，任一截面上的弯矩、剪力荷轴力的计算公式如下：4.4.1 各种结构位移计算公式
：虚设单位荷载P=1作用下的结构的内力；
：实际荷载作用下的结构的内力
图乘法
位移公式：
4.5.2 常见图形的面积和形心
常见图形的形心和面积（图4.10）。

图4.10
以上图形的抛物线均为标准抛物线：抛物线的顶点处的切线都是与基线平行4.5.3 应用图乘法时的几个具体问题
(2) 如果有一个图形为折线，则应分段考虑（图4.12）
图4.12
(3) 如果图形比较复杂，应根据弯矩图的叠加原理将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加图4.13
图4.13
（图4.13b中A1与y1的乘积为负值；图4.13c中抛物线为非标准曲线）。

例5：试求出图4.16刚架结点B 的水平位移和转角，EI 为常数
图4.16
解: （1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图（图4.17a、b、c）
图4.17
（2）代入公式，图乘。

B 点竖向位移：
B 点转角位移：
力法的基本概念
力法典型
方程：
δ11X1 +
Δ1P =0
a）做基
本结
构在
荷载
作用
下的
荷载
弯矩
M P和
单位
未知力X1 =1的作用下的单位弯矩图M1应用叠加公式得到结构的弯矩图M。

力法的基本方程：二次超静定结构
位移互等定理：δij=δji
δij表示单位力X j =1在基本结构沿X i 方向产生的位移，称柔度系数。

ΔiP表示在基本结构实际荷载沿X i方向产生的位移。

力法解超静定结构
：绘图5.10a超静定刚架的弯矩图。

图5.10
解：（1）基本体系（图5.10b）
（2）力法方程
基本体系应满足B 点无水平位移的变形条件。

力法方程为
（3）计算系数和自由项
分别画出实际荷载及单位未知力X1 =1的作用的弯矩图（图5.10c、d），利用图乘法计算系数。

（4）求多余的未知力
（5）作弯矩图（图5.10e）。