1
平面体系的计算自由度 W 的求法
2
（1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约束。

3
刚片数 m ；
4
约束数：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆数 b 。

5
W = 6
3m - 2h - 3g -b
7
（2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。

8
结点数 j ；
9
约束数：链杆（含支杆）数 b 。

10
W = 2j 11
– b
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（3）组合算法
13
约束对象：刚片数 m ，结点数 j
14
约束条件：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆（含支杆）数 b
15
W = （3m + 2j）16
-（3+2h+ b）
17
比较可得：三铰拱与简支梁的竖向支反力完全相同。

注意到水平支反力式中18
的分子就是简支梁上截面C的弯矩，则水平支反力可写作：
19
20
综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下，任一截面上的弯矩、剪力荷轴力的计21
算公式如下：
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4.4.1 各种结构位移计算公式
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：虚设单位荷载P=1作用下的结构的内力；
26
：实际荷载作用下的结构的内力
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29
30
图乘法
31
位移公式：
32
4.5.2 常见图形的面积和形心
33
常见图形的形心和面积（图4.10）。

34
35
36
图4.10
37
以上图形的抛物线均为标准抛物线：抛物线的顶点处的切线都是与基线平行38
4.5.3 应用图乘法时的几个具体问题
39
(2) 如果有一个图形为折线，则应分段考虑（图4.12）
40
41
图4.12
42
43
(3) 如果图形比较复杂，应根据弯矩图的叠加原理将图形分解为几个简单图44
形，分项计算后再进行叠加图4.13
45
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图4.13
47
（图4.13b中A1与y1的乘积为负值；图4.13c中抛物线为非48
标准曲线）。

49
例5：试求出图4.16刚架结点B 的水平位移和转角，EI 为常数
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图4.16
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解: （1）虚设单位荷载，作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图（图4.17a、b、53
c）
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图4.17
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（2）代入公式，图乘。

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B 点竖向位移：
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B 点转角位移：
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力法的基本概念
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Δ11=δ11X1 力法典型方程：δ11X1+ Δ1P =0
63
a）做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩M P和单位未知力X1=1的作用64
下的单位弯矩图M1应用叠加公式得到结构的弯矩图M。

65
b）
66
力法的基本方程：二次超静定结构
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68
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位移互等定理：δij=δji
70
δij表示单位力X j =1在基本结构沿X i 方向产生的位移，称柔度系数。

71
ΔiP表示在基本结构实际荷载沿X i方向产生的位移。

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力法解超静定结构
73
：绘图
74
5.10a超
75
静定刚
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架的弯
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矩图。

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图5.10
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解：
80
（1）基
81
本体系
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（图
83
5.10b）
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（2）力法方程
85
基本体系应满足B 点无水平位移的变形条件。

力法方程为
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δ11X1+ Δ1P =0
87
（3）计算系数和自由项
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分别画出实际荷载及单位未知力X1 =1的作用的弯矩图（图5.10c、d），利89
用图乘法计算系数。

90
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（4）求多余的未知力
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（5）作弯矩图（图5.10e）
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96
97。