2020年辽宁省部分重点中学协作体高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. 2+2i D.2.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|y=}，则A∩B=（）A. {}1，2}B. {0，1，2}C. {-2，-1}D. {-2，-1，0}3.已知函数f（x）=（2x+2-x）ln|x|的图象大致为（）A. B.C. D.4.已知等比数列{a n}满足a1=4，a1a2a3=a4a5＞0，则公比q=（）A. B. C. D. 25.m=log3，n=7-0.1，p=log425，则m，n，p的大小关系为（）A. m＞p＞nB. p＞n＞mC. p＞m＞nD. n＞p＞m6.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l与圆M：（x-1）2+（y-2）2=16相切，则p=（）A. 6B. 8C. 3D. 47.在△ABC中，D为BC边上一点，E是AD中点，若=，=+，则λ+μ=（）A. B. - C. D. -8.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据=2.0946）（）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.14139.在四棱锥P一ABCD中，所有侧棱都为4，底面是边长为2的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知函数f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0）的最小正周期为π，且对x∈R，恒成立，若函数y＝f（x）在[0，a]上单调递减，则a的最大值是（）A. B. C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为,过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为,若(+)·=0,则此双曲线的标准方程可能为（）A. B. C. D.12.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足2=a n，则-+-+……+（-1）51（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.月份x1234利润y/万元56 6.58利用线性回归分析思想，预测出年月份的利润为万元，则关于的线性回归方程为______14.设，满足约束条件，则的最小值是________.15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为______．16.设函数f（x）=ln x++2a，x∈[，a]，若函数f（x）的极小值不大于+2，则a的取值范围为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b sin B+c sin C=a（+sin A）（1）求A的大小；（2）若a=，B=，求△ABC的面积18.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D与AD1交于点E，AA1=AD=2AB=4．（1）证明：AE⊥平面ECD．（2）求点C1到平面AEC的距离．19.某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一45x y 住宿满意度x12345人数餐饮满意度y111210221321312534403543500123（）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从2≤x≤3且1≤y≤2的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率．20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（1）求C的方程；（2）若斜率为-的直线与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．21.已知函数f（x）=ax+-2．（1）若a=2，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，曲线C的极坐标方程为ρ-6cosθ=0．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点M（1，0），若直线l与曲线C交于P，Q两点，求|MP|2+|MQ|2的值23.已知函数f（x）=|x+2|．（1）求不等式f（x）+f（x-2）＜x+4的解集；（2）若∀x∈R，使得f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：===2+2i，故选：C．根据复数的运算法则进行求解即可．本题主要考查复数的计算，利用商的运算法则是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：B={x|x≤0}；∴A∩B={-2，-1，0}．故选：D．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和零点个数求解即可．【解答】解：f（-x）=（2-x+2x）ln|-x|=（2x+2-x）ln|x|=f（x），函数的定义域为，∴f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=0得ln|x|=0，则|x|=1，即x=1或x=-1，即f（x）有两个零点，排除C，当时，,排除A，故选B．4.答案：A解析：解：∵等比数列{a n}满足a1=4，a1a2a3=a4a5＞0由等比数列的通项公式可得，（4q）3=16q7＞0解可得，q2=2，∴q=故选：A．由已知结合等比数列的通项公式即可求解公比q本题主要考查了等比数列的通项公公式的简单应用，属于基础试题5.答案：B解析：【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵m=log3＜log31=0，0＜n=7-0.1＜70=1，p=log425＞log44=1，则m，n，p的大小关系为p＞n＞m．故选：B．6.答案：D解析：解：抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l：y=-与圆M：（x-1）2+（y-2）2=16相切，可得=4，解得p=4．故选：D．求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．7.答案：B解析：解：=+=-+•=-+（）=-（），又=+，根据平面向量基本定理可得：=，且-（+）=μ，解得λ=，μ=-，∴λ+μ=-=-．故选：B．选，为基向量，将用基向量表示，再根据平面向量基本定理可得．本题考查了平面向量基本定理，属中档题．8.答案：A解析：【分析】本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题．由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：=0.8269，所以=0.8269，又=2.0946，所以π≈3.1419，得解．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：=0.8269，所以=0.8269，所以=2.0946，所以π≈3.1419，故选：A．9.答案：C解析：【分析】由题意画出图形，可知四棱锥P-ABCD为正四棱锥，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线OP与BM所成角．本题考查异面直线所成角的求法，考查利用空间向量求解空间角，是中档题．【解答】解：如图，由题意，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，M(-，0，)，，，∴cos＜＞==．∴异面直线OP与BM所成角为60°．故选：C．10.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．利用函数的周期求出ω，对x∈R，恒成立，推出函数的最小值，求出φ，然后求解函数的单调区间即可．解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，，又对任意的x，都有，所以函数f（x）在上取得最小值，则，k∈Z，即，k∈Z．所以，令，k∈Z，解得，k∈Z，则函数y=f（x）在上单调递减，故a的最大值是．故选：B．11.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．由向量的加减运算和数量积的性质，可得|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2c，再由三角形的余弦定理，可得3c=5a，4c=5b，即可得到所求方程．【解答】解：若（+）•=0，即为若（+）•（-+）=0，可得2=2，即有|AF2|=|F2F1|=2c，由双曲线的定义可得|AF1|=2a+2c，在等腰三角形AF1F2中，tan∠AF2F1=-，cos∠AF2F1=-=，化为3c=5a，即a=c，b=c，可得a：b=3：4，a2：b2=9：16．故选：D．解析：解：正项数列{a n}的前n项和为S n，满足2=a n，可得a1=2-1=2-1，解得a1=1，由4S n=（1+a n）2，可得n≥2时，4S n-1=（1+a n-1）2，两式相减可得4a n=（1+a n）2-（1+a n-1）2，即为（1-a n）2=（1+a n-1）2，由a n＞0，可得a n-a n-1=2，则a n=1+2（n-1）=2n-1，S n=n（1+2n-1）=n2，则-+-+……+（-1）51=-+-+-+…-=-++--++--++…-+=．故选：A．求得数列的首项，再移项两边平方，将n换为n-1，相减，结合等差数列的定义和通项公式和求和公式，再由数列的裂项相消求和，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用数列的递推式，以及等差数列的定义和通项公式和求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：由已知表格中的数据可得，，，∴，①又，②联立①②解得：，．∴y关于x的线性回归方程为．故答案为：．由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于与的方程组，求解即可得到y关于x的线性回归方程．本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题．14.答案：0解析：【分析】先画出可行域的边界，即三个直线方程对应的直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果．本题考查了线性规划的方法和思想，一元二次不等式表示平面区域的规律和区域的画法，利用可行域数形结合求目标函数最值的方法.【解答】解：依题意x，y满足约束条件，画图如下：当z=0时，有直线l1：x+y=0和直线l2：x-y=0，并分别在上图表示出来，当直线向x-y=0向下平移并过A点的时候，目标函数z=x+y有最小值，此时最优解就是A点，点A的坐标是：A（2，-2），所以目标函数z=x+y的最小值是0．故答案为0．15.答案：8π解析：解：如图，圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则正方形的边长为2，∴正方形的对角线即圆柱外接球的直径为，半径为．∴该圆柱的外接球的表面积为．故答案为：8π．由题意画出图形，求出圆柱外接球的直径，得到外接球的半径，则外接球的表面积可求．本题考查旋转体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.答案：（1，]解析：解：函数f（x）=ln x++2a，x∈[，a]，函数的定义域为：（0，+∞），所以：a＞0且a＞，解得：a＞1；①若函数f（x）的极小值不大于+2，所以：f′（x）=-=，当x∈（0，1），f′（x）＜0，函数f（x）在区间单调递减；当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）在区间单调递增；所以函数f（x）的极小值不大于+2，即：f（1）=1+2a≤+2，2a--1≤0，≤0；即：2a2-a-3≤0，解得：-1≤a≤；②由①②可得：a的取值范围为：（1，]；故答案为：（1，]；由函数的定义域可得a＞0且a＞，再根据函数的单调性和极小值不大于+2可得1+2a≤+2，联合求解可得a的范围．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．17.答案：解：（1）∵b sin B+c sin C=a（+sin A），∴由正弦定理可得：b2+c2=a（+a），∴b2+c2-a2=，∴2bc cos A=bc，解得：cos A=，可得：A=．（2）∵sin C=sin（A+B）=，由正弦定理，可得：b=，∴S△ABC=ab sin C=．解析：（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2=a（+a），可得b2+c2-a2=，进而可求cos A=，从而可得A的值．（2）利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，利用正弦定理可得b，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD，又AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AE，∵四边形ADD1A1是平行四边形，∴E是A1D的中点，∵AA1=AD，∴AE⊥DE，又CD∩DE=D，∴AE⊥平面ECD．（2）解：连接CD1，则点C1到平面AEC的距离即为点C1到平面ACD1的距离．在△ACD1中，AC=2，AD1=4，CD1=2，∴CE⊥AD1，且CE==2，∴S===4，设C1到平面ACD1的距离为h，则V==．又V=V==，∴4h=16，即h=．∴点C1到平面AEC的距离为．解析：（1）证明CD⊥平面ADD1A1可得CD⊥AE，根据AA1=AD可得AE⊥DE，故而AE⊥平面EDC；（2）根据V=V列方程计算C1到平面AEC的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥体积与线面距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）“住宿满意度”分数的平均数为：=3.16．（2）当“住宿满意度“为3分时的5个”餐饮满意度“人数的平均数为：=3，其方差为=2．（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a，b，c．“住宿满意度”为3的3人分别记为d，e，f．从这6人中抽取2人有如下情况：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种情况，所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率P==．解析：（1）根据平均数公式可得；（2）根据平均数和方差公式以及题目中数据可计算得．（3）利用列举法以及古典概型的概率公式可得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.答案：（1）解：由题意，，解得．又b2=a2-c2=1，∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l的方程为y=-，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y，得2x2-4mx+4（m2-1）=0．则△=16m2-32（m2-1）=16（2-m2）＞0，且x1+x2=2m，．故=．∴=．即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．解析：（1）由已知得关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设直线l的方程为y=-，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率乘积证得即可．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查等比数列的判定，是中档题．21.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=，则：，解得：x=，当x时，f′（x）＞0．当x时，f′（x）＜0．故函数的单调递增区间为：，函数的单调递减区间为．（2）令f（x）=0，可得：ax3-2x2+3=0，令：g（x）=ax3-2x2+3，g（0）=3，则：本题等价于g（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，当a=0时，g（x）=-2x2+3=0，解得：x=，故函数有两个零点，不合题意．当a≠0时，g′（x）=3ax2-4x=x（3ax-4），令g′（x）=0，解得：x=或，当a＞0时，函数g（x）在（-∞，0）和（）上单调递增，在（）单调递减．由于g（0）=3，又x趋近于-∞时，g（x）趋近于-∞，所以函数g（x）存在负数零点，不合题意．当a＜0时，函数g（x）在（-∞，0）和（）上单调递减，在（）单调递增．又g（0）=3，故：g（）=，解得：，故a的取值范围是（-）．解析：（1）直接利用函数的求导求出函数的极值点，进一步求出函数的单调区间．（2）利用分类讨论思想的应用，对参数进行讨论，进一步利用函数的极值点的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间，分类讨论思想在函数的导数中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．22.答案：解：（1）由ρcos（θ+）=得直线l的直角坐标方程为：x-y-1=0；由ρ-6cosθ=0得ρ2-6ρcosθ=0得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x=0，即（x-3）2+y2=9．（2）依题意得直线l的参数方程为：（t为参数），将其代入曲线C的直角坐标方程得t2-2-5=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，得t1t2=-5，t1+t2=2，所以|MP|2+|MQ|2=|t1|2+|t2|2=（t1+t2）2-2t1t2=18．解析：（1）根据ρcosθ=x，ρsinθ=y可得直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程为：（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程后，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．本题考查了极坐标方程化成直角坐标方程、直线参数方程中参数t的几何意义，属中档题．23.答案：解：（1）f（x）=|x+2|，f（x）+f（x-2）＜x+4，即为|x|+|x+2|＜x+4，当x≥0时，x+x+2＜x+4，解得0≤x＜2；当-2＜x＜0时，-x+x+2＜x+4，解得-2＜x＜0；当x≤-2时，-x-x-2＜x+4，解得x∈∅．综上可得不等式的解集为{x|-2＜x＜2}；（2）f（x+a）+f（x）≥f（2a），即为|x+a+2|+|x+2|≥|2a+2|，由|x+a+2|+|x+2|≥|x+a+2-x-2|=|a|，可得|2a+2|≤|a|，即有4a2+8a+4≤a2，可得3a2+8a+4≤0，解得-2≤a≤-．解析：（1）由题意可得|x|+|x+2|＜x+4，由绝对值的意义，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由题意可得|x+a+2|+|x+2|≥|2a+2|，运用绝对值不等式的性质可得|2a+2|≤|a|，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．。