函数定义映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”函数的概念1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。
函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性;(3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) 例 函数y ＝xx 23与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1② f ( x ) = x ； g ( x ) =2x③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x重点一：函数的定义域各种类型例题分析例 求下列函数的定义域（用区间表示）（1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=；解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-023112012022x x x x x Θ，解得函数定义域为]2,23()23,1()1,21(Y Y .例 当a 取何实数时，函数y =lg(-x 2+ax +2)的定义域为(-1，2)?分析： 可转化为：确定a 值，使关于x 的不等式-x 2+ax +2>0的解集为(-1，2). 解： -x 2+ax +2>0⇒x 2-ax -2<0，故由根与系数的关系知a =(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域(1)()f x =（2）y =⑶4)3lg(2++=x x x y ⑷1||142-+-=x x y⑸)1(log 31-=x y ⑹235684xx x y ---=抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f(…)”型例：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。
【类型二】“已知f(…) ，求f(x)”型例：已知f(x+1) 的定义域是[0，5]，求f(x)的定义域。
【类型三】“已知f(…)，求f(…)”型 例：已知f(x+2)的定义域为[-2，3），求f(4x-3)的定义域。
【思路】f(…)→f(x)→f(…)例. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[l o g ()]222的定义域是___。
分析：因为l o g()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以l o g()2221x -≤，解得 22<≤x或-≤<-22x 。
例 已知函数f (2x )的定义域是［-1，2］，求f (log 2x )的定义域.分析： 在同一法则f 下，表达式2x 与log 2x 的值应属于“同一范围”. 解: ∵-1≤x ≤2，∴21≤2x ≤4故21≤log 2x ≤4即 log 22≤log 2x ≤log 216⇒2≤x ≤16.总结：已知F (g (x ))的定义域为A ，求F (h (x ))的定义域，关键是求出既满足g (x )∈B ，又满足h (x )∈B 的x 取值集合，在此例中，A =［-1，2］，B =［21，4］.例．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) 2()23f x +；(2)212log (2)y x =-。
解：（1）由0＜x 2＜2， 得练习1、函数()f x 的定义域是[0，2]，则函数(2)f x +的定义域是 ___________.2、已知函数()f x 的定义域是[-1，1]，则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.3、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为 ___________ ．重点二：求函数解析式的几种常用方法 1.换元法：例 已知f(x+1)=2x +2x-3,求f(x)解: 令x+1=t,则x=t-1代入函数式中得:f(t)= ()21t -+2(t-1)-3= 2t -4∴f(x)= 2x -4说明:f(x),f(t)都是同一个对应法则,只是自变量的表示不同,从函数来看没有区别.练习、1 若f(x)=2x 2-1，求f(x-1)2 已知函数f(2x+1)=3x+2，求f(x). 2.配凑法：上例中,把已知的f(x+1)中的x+1看成是一个整体变量进行处理.∵f(x+1)=2x +2x+1-4 = ()21x +-4 用x 代替 x+1,得: f(x)= 2x -4 例 已知f(x+1x )= 221x x+ , 求f(x). 分析：将221x x+用x+1x 表示出来，但要注意定义域。
解：f(x+1x )= 221x x+=212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变式、1 已知x ≠0，函数f(x)满足f(x x 1-)=221xx +，求f(x) .2 已知1)f x +=+()f x 3、待定系数法：例.一次函数f(x)满足f[f(x)]=9x+8,求f(x).解：设此一次函数解析式为f(x)=kx+b,则有：f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b= 2k kb b ++ 由已知得：2k kb b ++=9x+8.即298k kb b ⎧=⎨+=⎩ 解得32k b =⎧⎨=⎩ 或 34k b =-⎧⎨=-⎩ 所求一次函数解析式为：f(x)=3x+2,或f(x)=-3x-4.例 已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .4.解方程组法：例 设f(x)满足f(x)+2f(1x)=x (x ≠0 ),求f(x). 分析：要求f(x)需要消去f(1x ),根据条件再找一个关于f(x)与f(1x) 的等式通过解方程组达到目的。
解：将f(x)+2f(1x )=x 中的x 用1x 代替得f(1x )+2f(x)= 1x. 消去f(1x) 得 : 2()33x f x x =- 例 若3f(x)+f(-x)=22x –x,求f(x).解：用-x 替换式中x 得:3f(-x)+f(x)=22x +x. 消去f(-x) 得： f(x)=22x -2x练习、1 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ． 2 若()f x 满足1()2(),f x f ax x+=求()f x重点三 函数的值域 ㈠、观察法： 例、求下列函数的值域（1） y=3x+2 (-1≤x ≤1) （2）x x f -+=42)(㈡、配方法：例、已知函数142+-=x x y ，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x ∈R ； （2）[3，4] （3）[0，1] （4）[0，5] 练习：1.已知函数223y x x =+-，分别求它在下列区间上的值域。
（1）x R ∈； （2）[0,)x ∈+∞； （3）[2,2]x ∈-； （4）[1,2]x ∈ 2.求函数2234x x y -+-= 的值域说明：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，一般是根据函数所给x 的取值范围，结合函数的图象求得函数的值域.例．若实数x 、y 满足x 2+4y 2=4x ，求S=x 2+y 2的值域解：∵4y 2=4x-x 2≥0∴x 2-4x ≤0，即0≤x ≤431)32(434344222222-+=+=-+=+=∴x x x x x x y x S ∴当x=4时，S max =16当x=0时，S min =0 ∴值域0≤S ≤16例．已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值． 分析：2)(ax x f y -==称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a ，而函数的自变量x 限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．解：43)2()(22a a x x f y -++==734)1(212)1(min =∴-=-=-=>-<-a a f y a a时，，即当 )(62343)2(22121)2(2min 舍得，时，，即当±=-=-=-=≤≤-≤-≤-a a a f y a a734)1(212)3(min -=∴-=+==-<>-a a f y a a时，即，当 综合（1）（2）（3）可得：a=±7㈢、换元法例、求函数x x x f 41332)(-+-=的值域。
解：令0413≥=-t x ，则13-4x=t 24132t x -= ∴4)1(21321322+--=+--=t t t y 该二次函数的对称轴为t=1，又t ≥0由二次函数的性质可知y ≤4，当且仅当t=1即x=3时等式成立，∴原函数的值域为（-∞，4]。
例．求函数y x =解析：方法1、可用换元法解答 方法2、根据函数的单调性来做例 求函数 y=2x+2-3×4 x (-1≤x ≤0) 的值域解 y=2x+2-3·4x =4·2x -3·22x 令 2x =t12101≤≤∴≤≤-t x Θ 3411,3434)32(3]949434[343min max 222≤≤∴==∴+--=-+--=+-=y y y t t t t t y 例 的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(x f x f x g y x f -+==练习、 1.求函数x x y -+=142的值域2. 求函数x x y 212-+=的值域形如：d cx b ax y +++=的函数可令)0(≥=+t t d cx ，则cdt x -=2转化为关于t 的二次函数求值。