从而得到：
F(z)
1d
2 1! ds
(s

a)2

1 (s a)2
z z esT
sa

TzeaT (z eaT )2
3.3 z 变换的基本定理
1、线性定理
线性函数满足齐次性和迭加性，若
Z f1(t) F1(z) Z f2 (t) F2 (z)
（1）对于第1个极点 z1 2
Res[F (z)zk1]zz1 [(z z1)F (z)zk1]zz1

(z

2)
(z

5z 2)( z
1)
z
k
1

z2

5
2k
（2）对于第2个极点 z2 1
Res[F (z)zk1]zz2

(z

1)
F
(z)zk 1]zzi
式中 m ---不同极点个数; ni --- zi 的阶数

f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
例2.7 求
F(z)

z2
5z 3z
2
的z反变换。
解：由F(z)的表达式得到：
m 2, z1 2, n1 1, z2 1, n2 1

f * t f kT t kT k 0 f 0 t f T t T f kT t kT
然后利用公式直接展开

F (z) f (kT )zk
k 0
（1）
f 0 1 f T z1 f 2T z2 f kT zk
F *(s) f (kT )eskT k 0
时域 s域
引入一个新的复变量
z esT

Z[ f (t)] Z[ f *(t)] F (z) f (kT )zk
z域
k 0
序列时刻(时间信息)：
时间序列
单位延迟因子
(信号幅值信息)
关于z变换过程：
s变换 z 变换
f (t) f *(t) F *(s) F (z)
3)
z
z esT
]s3

2z(z
z
eT
)

z (2)(z
e3T
)

z(eT 2(z eT
e3T ) )(z e3T
)
例2.4 求
F(s) 1 (s a)2
的 z 变换。
解：上式有1个二重极点, 于是 m 1, s1 a, n1 2
的 z 反变换
解：将
F (z)除以z，并展开成部分分式，得
F(z) 1 1 z z 1 z 0.5
上式两边乘以z，得
F(z)

z
z 1

z
z 0.5

1 1 z1
1
1 0.5 z 1
于是得到
f (kT ) 1 (0.5)k k 0,1, 2,


f *(t) f (kT ) (t kT ) [1 (0.5)k ] (t kT )
F (z) A1 A2 An
z z z1 z z2
z zn
Ai

(z

zi )
F(z) z
z zi
F (z) A1z A2 z An z n Ai z
z z1 z z2
z zn i1 z zi
各个分式所对应的时间序列为通常熟悉的指数序列 ：
k 0
k 0
3、留数法
在留数法中，采样函数值 f (kT ) 等于 F (z)zk1 各个极点上留
数之和，即 其中：
m
f (kT ) Res[F (z)zk1]zzi i 1
Res[F (z)zk1]zzi

(ni
1 1)!
d ni 1 dzni 1
[( z

zi
)ni

F(z)

n
Ai
i1 1 eaiT z 1
例2.2 求
F(s) a s(s a)
的 z 变换
解： F (s) a 1 1
s(s a) s s a
于是得到： a1 0, A1 1 a2 a, A2 1
n
F(s)
Ai
i1 s ai
，而
lim F (z)
z
存在，则
f (0) lim F (z) z
5、终值定理
如果 f (t) 的z 变换为 F (z) ， 而 (1 z1)F (z) 在z 平面以原 点为圆心的单位圆上或圆外没有极点，则
lim f (t) lim f (kT ) lim(1 z1)F (z)
将式（2）两边乘以 z1 ，有：
z1F (z) z1 z2 zk
（3）
上两式相减，得：
F (z) z1F (z) 1
所以
F(z)

1 1 z1

z
z 1
2、部分分式法
设连续函数 f (t) 的拉氏变换为有理函数，具体形式如下：
F(s) M (s) N (s)
15z2 45z3 30z4 35z3 30z4
35z3 105z4 70z5 75z4 70z5


F (z) 5z1 15z2 35z3
相应的采样函数为
f *(t) 5 (t T ) 15 (t 2T ) 35 (t 3T )
式中，M (s) 与 N (s) 都是复变量s的多项式。
通常无重极点的 F (s) 能够分解成如下的部分分式形式：
n
F(s)
Ai
i1 s ai
其中： Ai (s ai )F (s) |sai
Ai e ai t
衰减指数函数
Ai 1 eaiT z 1
于是有：
Z (F (s))
3、超前定理
n1
Z f (t nT ) znF (z) zn f ( jT )z j j0
如果 f (0T ) f (T ) f (n 1)T 0
则 Z f (t nT ) znF(z)
4、初值定理
如果
f
(t) 的z
变换为 F (z)
k 0
k 0
例2.8
求
F
(z)

(z

z 2)( z
1)2
的z反变换。
解：F (z) 中有一个单极点和两个重极点 ：
m 2, z1 2, n1 1, z2 1, n2 2
（1）对于 z1 2 ，有
Res[F (z)zk1]zz1

( z
2)
(z

z 2)( z
mn
用F (z) 表达式的分子除以分母，得到 zk 升幂排列的 f (kT )zk f (0) f (1T )z1 f (2T )z2 f (kT )zk k 0 f *(t) f (0) f (1T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT ) f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
教学模块2 信号转换与z变换
教学单元3 z变换与z反变换
3.1 z 变换的定义
f (t) 的拉普拉斯变换式为 F(s) L f (t) f (t)estdt
f (t)的采样信号为 f *(t)
其拉普拉斯变换式为

f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
a 、b 为任意常数， f (t) af1(t) bf2 (t)
则
F (z) aF1(z) bF2 (z)
2、滞后定理
n
Z f (t nT ) znF (z) zn f ( jT )z j j 1
如果 t 0, f (t) 0 ，则
Z f (t nT ) znF (z)
例2.1 求单位阶跃函数 1(t) 的 z 变换 解：单位阶跃函数 1(t) 在任何采样时刻的值均为1
f (kT ) 1(kT ) 1, k 0,1, 2
代入式（1）中，得：

F (z) f (kT )zk 1z0 1z1 1z2 1zk （2） k 0
t
k
z 1
lim (z 1) F (z) lim(z 1)F (z)
z1 z
z 1
6、求和定理 7、复域位移定理 8、复域微分定理 9、复域积分定理 10、卷积定理
3.4 z 反变换定义及方法
定义：
从z变换 F (z) 求出的采样函数 f *(t) ，称为z反变
换，表示为 Z 1[F (z)] f *(t)
1) 2
z
k
1

z2

2k
（2）对于 z2 1 ，有
Res[F (z)zk1]zz2,3

1d
2 1! dz
(
2、部分分式法
将 F (z) 写成如下有理式标准形式：
F(z)

M (z) N(z)

b0 zm b1zm1 bm zn a1zn1 an
对 F (z) 的分母进行因式分解，即
N (z) (z z1)(z z2 )(z zn )
一般适合所有极点是互不相同的单极点的情况：
f (t) f *(t) F *(s) F (z)