Bn zn

N r k 1
1
Ak zk z1

r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
部分分式展开法计算过程
Ak
(1 zk z1) X (z) zzk

Res

X
(z) z

z
zk
(
1 v
)v1dv
max[Rx1 ,
1 ]< Rx2
v
<
min[Rx1 ,
1] Rx2
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号 xa (t) 的Laplace变换

xa (t)＝xa (t)T (t) xa (nT ) (t nT )
n

Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT

1
e
1
j0
z 1
,
z

e j0
1
Z[e
j0nu(n)]

1
1 e j0
z 1
,
z

e j0
1
故，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1

e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
z
1
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
只有一个一阶极点
zr

1 4
。
x(n)

Res[ zn1
/(4

z )( z

1
4
)]
z

1
4
( 1 )n1 4 1 1 4n , n 1
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
n
Z变换与Laplace 变换的关系
抽样序列 x(n) x(nT ) 的 z 变换

X (z)
x(n) z n
n
X (z) zesT X (esT ) X a (s)
z esT ，抽样序列的z变换等于理想抽样信号的Laplace变换。
Z变换与Laplace 变换的关系
双边Z变换的主要性质
12.Parseval定理
x1(n) X1(z) Rx1 < z < Rx1
x2 (n) X 2 (z) Rx2 < z < Rx2
且 Rx1Rx2 < 1, Rx1 Rx2 1

n
x1 (n) x2 (n)

1
2
j
c
X1(v)
X
2
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列

X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
理想抽样信号拉氏变换与抽样序列Z变换关系的实质 建立起 s (域) 平面与 z (域)平面之间的的一一对应关系！
z esT
s 1 ln z T
s j z re j
r eT
T
r与σ 的对应关系 (r eT )
σ =0,即S平面的虚轴映射到Z平面单位圆(r=1)； σ <0,即S左半平面映射到Z平面单位圆内(r<1)； σ >0, 即S右半平面映射到Z平面单位圆外(r>1) 。
X
(z)

B(z) A(z)

X1(z)

X2(z)

Xk (z)
x(n) Z 1[X1(z)] Z 1[X2(z)] Z 1[Xk (z)]
部分分式展开法计算过程
M
X
(z)

B(z) A( z )

bi zi
i0 N
1 ai zi
i1

M N n0
(2) 右边序列

X (z) x(n)zn
nn1
若n1 0 : z R
若n1 < 0 : R < z <
R
x-
Im z ROC
Re z
因果序列的ROC包含∞点
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
n2
X (z)
x(n)zn
n
若n2 0 : z < R
A2

(z

2)
X (z) z
z2

2 3
例：已知
X (z)
z2
(z 1)( z 2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
X (z) 1 z 2 z 3 z 1 3 z 2
(1)收敛域为|z|>2时,x(n)为因果序列，
n
在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，其系数即为x(n)。
具体过程自学！
双边Z变换的主要性质
x1(n) X1(z) x2 (n) X2 (z)
ROC Rx1 {Rx1 < z < Rx1} ROC Rx2 {Rx2 < z < Rx2 }
1.线性特性
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
2

1
,
z
0
组合后，z=1既是零点，又是极点，出现零极点相抵 消，收敛域扩大。
双边Z变换的主要性质
3.指数加权特性
anx(n) Z X (z / a) ROC a Rx
4. 线性加权(Z域微分特性)
nx(n) z dX (z) dz
ROC Rx
双边Z变换的主要性质
5.共轭序列
或
x(n) z X (z)
z变换定义及收敛域
序列z变换的定义为

X (z)
x(n)zn
n
能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域
(ROC) 充要条件:

x(n)zn M < 绝对可和
n
收敛域(ROC): R< |z|<R+
例：求下列信号的Z变换及收敛域。
lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
双边Z变换的主要性质
9.有限项累加特性
因果序列x(n)=0,n<0，其z变换为
X (z) Z[x(n)] z Rx
n
Z[ x(m)]
z
X (z)
m0
z 1
z max[Rx,1]
双边Z变换的主要性质
10. 序列卷积和
x(n) X (z)
ROC Rx
6.时间翻转(time reversal)
x(n) Z X (1/ z)
1
1
<z<
Rx
Rx
双边Z变换的主要性质
7.初值定理
因果序列x(n)=0,n<0,有 lim X (z) x(0)
z
8. 终值定理
X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内 (单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则
x(n)

-
Res[ zn1
/(4

z )( z

1 4 )]z 4
(4)n1

4

1 4


1 15

4n2 ,
n

2
因此，
x(n)

1
15

1
15
4n , 4n2
,
n 1 n 2
部分分式展开法基本思想
将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
k
1, 2,
,N r
Ck

1 (zi )rk
1 d rk
(r

k
)!

d
(
z
1)r
k
[(1 zi z1)r X (z)] z z i
k 1, 2, , r
根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。
例：已知
X (z)
z2
(z 1)( z 2)
z变换的定义及符号表示
z变换

X (z)
x(n)zn
n
z反变换
x(n) 1
X (z)zn1dz
2πj c
C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线
物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合
符号表示
正变换：X(z)=Z{x(n)} 反变换： x(n) =Z1{X(z)}
x1[n] x2[n] X1(z) X 2 (z) ROC 包含Rx1∩Rx2
时域的卷积和对应于Z域是乘积关系 11. 序列相乘(Z域复卷积定理)