解：
X1 ( z ) a z
n 0 1

n n

1 1 az 1 1 1 az 1
z a
z <a
X 2 ( z)
n

a z
n n
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
几种不同序列z变换的ROC
双边Z变换的主要性质
10. 序列卷积和
x1[n] x2[n] X1( z) X 2 ( z) ROC 包含Rx1∩Rx2
时域的卷积和对应于Z域是乘积关系
11. 序列相乘(Z域复卷积定理)
z 1 Z [ x1 (n) x2 (n)] c X1( v ) X 2 (v)v dv 2 j Rx1 Rx2 < z < Rx1 Rx2
(1) 有限长序列
X ( z)
n n1

n2
x ( n) z n
(1) n1 <0, n 2 >0时，ROC： 0 < z < (2) n1 <0, n 2 0时，ROC： 0 z < (3) n1 0, n 2 >0时，ROC： 0 < z
ROC也可能包含0或∞点
Rx
c为环形解析域内环绕原点的 一条逆时针闭合围线.
0
Re[z ]
Rx
c
Z反变换
为计算围线积分，由留数定理可知：
1 X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zk c 2 j k 1 X ( z ) z n 1dz Res[ X ( z ) z n 1 ]z zm c 2 j m
n n x (2)收敛域为|z|<1时,x(n)为反因果序列， (n) [ 1 ( 1) 2 2 ]u( n 1) 3 3
(3)当收敛域为1<|z|<2时
x(n) 1 ( 1)n u(n) 2 2n u( n 1) 3 3
幂级数展开法基本原理
X ( z)
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线 留数法
部分分式法
长除法
z反变换
1.留数法
罗朗级数公式：
若：X ( z )
n
x ( n ) z n ,

Rx < z < Rx
j Im[ z ]
1 则：x (n ) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
n 1
1 /(4 z )( z )] 1 4 z 4
1 n 1 ( ) 4
1 1 4 4 n , n 1 4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
1 x(n) - Res[ z /(4 z )( z )]z 4 4 1 1 n 1 (4) 4 4n 2 , n 2 4 15
n 1
1 n 15 4 , 因此， x ( n ) 1 4n 2 , 15
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
对双边序列而言，序列位移不改变其收敛域！
例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。
z Z [u ( n )] , z 1 z 1 z z 2 Z [u ( n 3)] z 3 , z 1 z 1 z 1 z z 2 z2 z 1 Z [ x ( n )] ,z 0 2 z 1 z 1 z
部分分式展开法计算过程
Ak (1 zk z ) X ( z )
1
z zk
X ( z) Res k 1, 2,, N r z z zk
1 1 d r k 1 r Ck [(1 zi z ) X ( z )] r k 1 r k ( zi ) (r k )! d ( z ) z zi k 1, 2, , r
部分分式展开法计算过程
B( z ) X ( z) A( z )
M N n 0
bi z i 1 ai z i
i 1 N r i 0 N
M


r Ak Ck n Bn z 1 1 k k 1 1 zk z k 1 (1 zi z )
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
n 1 n 2
部分分式展开法基本思想 将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
B( z ) X ( z) X1 ( z ) X 2 ( z ) X k ( z ) A( z )
x(n) Z 1[ X1 ( z)] Z 1[ X 2 ( z )] Z 1[ X k ( z )]
z 2
2 3
例：已知
z2 X ( z) ( z 1)( z 2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
1 z 2 z X ( z) 3 z 1 3 z 2
(1)收敛域为|z|>2时,x(n)为因果序列， x(n) [ 1 ( 1)n 2 2n ]u(n) 3 3
组合后，z=1既是零点，又是极点，出现零极点相抵 消，收敛域扩大。
双边Z变换的主要性质
3.指数加权特性
a x(n) X ( z / a)
n Z
ROC a Rx
4. 线性加权(Z域微分特性)
dX ( z ) nx(n) z dz
ROC Rx
双边Z变换的主要性质
5.共轭序列
n
lim x(n) lim[( z 1) X ( z )]
z 1
双边Z变换的主要性质
9.有限项累加特性
因果序列x(n)=0,n<0，其z变换为
X ( z ) Z [ x(n)]
n
z Rx
z Z[ x(m)] X ( z) z 1 m 0
z max[ Rx ,1]
求其z变换。
1 j0n j0n cos(0 n)u (n) [e e ]u (n) 2 1 n Z [a u (n)] ,za 1 1 az 1 j0 n Z [e u (n)] , z e j0 1 j0 1 1 e z 1 j0 n Z [e u (n)] , z e j0 1 1 e j0 z 1 1 1 1 故，Z [cos(0 n)u (n)] [ ], z 1 j0 1 j0 1 2 1 e z 1 e z
若n 2 0 :
n

n2
x ( n) z
z < R
n
Im z
ROC
R x+
Re z
0 < z < R
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X ( z)
n


x ( n) z
n
Im z ROC
ROC R < z < RR源自x-Re zR
x+
z反变换
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2πj
,
1 < z <4 4
，求z反变换。
j Im[ z ]
X ( z ) z n 1
z n 1 1 (4 z )( z ) 4
0
1/4 c 4
Re[z ]
1）当n≥-1时, z 在z=0处不会构成极点，此时C内 只有一个一阶极点 z r 1 。
4
n 1
x(n) Res[ z
n


x(n) z n x(1) z x(0) z 0 x(1) z 1
在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数，其系数即为x(n)。
具体过程自学！
双边Z变换的主要性质
x1 (n) X 1 ( z )
x2 (n) X 2 ( z )
ROC Rx1 {Rx1 < z < Rx1 }
根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。
例：已知
z2 X ( z) ( z 1)( z 2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。 X(z)的极点为z1=-1, z2=2 ，展成部分分式为
A1 A2 X ( z) z z ( z 1)( z 2) z 1 z 2 X ( z) A1 ( z 1) z X ( z) A2 ( z 2) z 1 3 z 1
x (n) X ( z )



ROC Rx
6.时间翻转(time reversal)
x(n) X (1/ z)
Z
1 1 < z< Rx Rx
双边Z变换的主要性质
7.初值定理
因果序列x(n)=0,n<0,有
z
lim X ( z ) x(0)
8. 终值定理 X(n)为因果序列，且X(z)的极点处于单位圆以内 (单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则
n 1
] z zr