第1讲 导数的概念及其运算1.已知函数32()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163C.133D.103【答案】 D【解析】 f′2()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643a -=,=.2.设y=-2e xsinx,则y′等于( )A.-2e x cosxB.-2e xsinx C.2e xsinxD.-2e (xsinx+cosx) 【答案】 D【解析】 ∵y=-2e xsinx,∴y′=(-2e )x′sinx+(-2e )(xsinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (xsinx+cosx).3.已知3270()x m f x mx m<,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( )A.-9B.-3C.3D.9 【答案】 B【解析】 由于f′227()3x mx m =+,故f′27(1)183m m≥-⇔+≥-18,由m<0得227318318270m m m m+≥-⇔++≤⇔23(3)m +0≤,故m=-3.4.设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( )A.2B.12C.12- D.-2【答案】 D【解析】 因为y′22(1)x -=,-所以切线斜率k=y′|3x ==12-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直,故有()1k a ⋅-=-,因此12a k==-.5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( )A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数 【答案】 B【解析】 f′12()x =cos 22x ⋅+cosx=cos2x+cosx=2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-.故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.1.下列求导运算正确的是( )A.1()x x+′112x =+B.(log 2)x ′1ln2x =C.(3)x′3x=⋅log 3eD.2(x cosx)′=-2xsinx【答案】 B【解析】 1()x x +′112x =-;(3)x ′3x =ln3; 2(x cosx)′=2x cos 2x x -sinx.2.若曲线C:3222y x ax ax =-+上任一点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数a 的值等于( ) A.-2 B.0 C.1 D.-1 【答案】 C【解析】 由题意,y′23420x ax a =-+>对x ∈R 恒成立,故3002a ∆<⇒<<,又a ∈Z ,∴a=1.3.若点P 是曲线2y x =-lnx 上任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为( ) A.1【答案】 B【解析】 过点P 作y=x-2的平行线,且与曲线2y x =-lnx 相切,设200(P x x ,-ln 0)x ,则k=y′|0x x =0120x x =-,∴01210x x-=.∴01x =或102(x =-舍去).∴P(1,1).∴d ==4.已知直线y=kx+1与曲线3y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为( )A.3B.-3C.5D.-5【答案】 A【解析】 对3y x ax b =++求导,得y′23x a =+,∴k=y′|13x a ==+. 又点(1,3)为切点,∴ 33113113k a b k a =⨯+,⎧⎪=+⨯+,⎨⎪=+,⎩解得b=3.5.已知二次函数f(x)的图象如图甲所示,则其导函数f′(x)的图象大致形状是( )【答案】 B【解析】 设二次函数为2(0y ax b a =+<,b>0),则y′=2ax, 又∵a<0,故选B.6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为3231232s t t t =-+,那么速度为零的时刻是( ) A.0秒 B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末【答案】 D【解析】 ∵3231232s t t t =-+,∴v=s′2()32t t t =-+.令v=0得2320t t -+=,解得1212t t =,=.7.设函数y=xsinx+cosx 的图象上的点(x,y)处的切线斜率为k,若k=g(x),则函数k=g(x)的图象大致为 … ( )【答案】 B【解析】 k=g(x)=y′=sinx+xcosx -sinx=xcosx,故函数k=g(x)为奇函数,排除A 、C;又当(0)2x π∈,时,g(x)>0,可排除D,选B.8.下列图象中,有一个是函数3221()(1)1(3f x x ax a x a =++-+∈R 0)a ,≠的导函数f′(x)的图象,则f(-1)= .【答案】 13-【解析】 ∵f′22()2(1)x x ax a =++-, ∴导函数y=f′(x)的图象开口向上. 又∵0a ≠,其图象必为图(3).由图象特征知f′(0)=0,且-a>0, ∴a=-1.故f(111)1133-=--+=-.9.如图,已知函数21()()5F x f x x =+的图象在点P 处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=.【答案】 -5【解析】 F′(x)=f′2()5x x +,由题意可知F′(5)=f′(5)+2=-1, ∴f′(5)=-3.又点(5,3)在函数F(x)图象上,∴f(5)+5=3, 即f(5)=-2.∴f(5)+f′(5)=-5.10.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C:3103y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 . 【答案】 (-2,15)【解析】 ∵3103y x x =-+,∴y′2310x =-.由题意,设切点P 的横坐标为0x ,且00x <,即203102x -=,∴204x =.∴02x =-. ∴300010315y x x =-+=.故点P 的坐标为(-2,15). 11.(2012天津测试)已知1()f x =sinx+cosx,记2()f x =1f ′(x)32()f x f ,=′(x),…1()n n f x f -,=′()(x n ∈N 2)n *,≥,则12()()22f f ππ++…2012()2f π+= .【答案】 0【解析】 21()f x f =′(x)=cosx -sinx,3()(f x =cosx-sinx)′=-sinx-cosx, 4()f x =-cosx+sin 5()x f x ,=sinx+cosx,以此类推,可得出4()()n n f x f x +=. 又∵1234()()()()0f x f x f x f x +++=,∴12()()22f f ππ++…20121()()22f f ππ+=+2()2f π34()()022f f ππ++=.12.求下列函数的导数.2(1)y x =sinx;xe 1(2)x e 1y +=-; (3)y=cos 22()x x -.【解】 (1)y′2()x =′sin 2(x x +sinx)′=2xsin 2x x +cosx.(2)方法一:y′x x x (e 1)'(e 1)(e 1)(ex 1)'2(ex 1)+--+-=-x x x x x e (e 1)(e 1)e 2e x 2x 2(e 1)(e 1)--+-==--.方法二:∵x e 1221x x e 1e 1y -+==+,-- ∴y′=1′2()x e 1+-′,即y′x 2e x 2(e 1)-=-. (3)y′=2cos 2()[x x -cos 2()]x x -′=2cos 2()[x x --sin 22()]()x x x x --′=2cos 2()[x x --sin 2()](21)x x x --=-(2x-1)sin 22()x x -.13.已知函数21()2f x x a =-ln (x a ∈R ).若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a 、b 的值.【解】 因为f′()(0)a x x x x=->,又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以 2ln22b a 212a -=+,⎧⎪⎨-=,⎪⎩ 解得a=2,b=-2ln2.14.已知函数322()3611()3612f x ax x ax g x x x =+--,=++和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0. (1)求a 的值;(2)是否存在k 的值,使直线m 既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.【解】 (1)f′2()366x ax x a f =+-,′(-1)=0, 即3a-6-6a=0,∴a=-2.(2)∵直线m 恒过定点(0,9),先求直线m 是曲线y=g(x)的切线,设切点为2000(3612)x x x ,++,∵g′00()66x x =+,∴切线方程为20000(3612)(66)()y x x x x x -++=+-,将点(0,9)代入,得01x =±, 当01x =-时,切线方程为y=9; 当01x =时,切线方程为y=12x+9.由f′(x)=0得266120x x -++=,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18; 当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9. ∴公切线是y=9.又由f′(x)=12得2661212x x -++=, ∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11; 当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10, ∴公切线不是y=12x+9.综上所述,存在k 值能使直线m 为曲线y=f(x)及y=g(x)的切线,此时k=0,切线为y=9.。