高中数学-导数的概念及运算练习1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y ′＝－ln(－x)答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x.2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0答案 D解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋11＝6.所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12，故选D.4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末答案 D解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x22－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0>0， 由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.6．(·衡水调研卷)设f(x)＝xlnx ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2答案 B解析 由f(x)＝xlnx ，得f ′(x)＝lnx ＋1. 根据题意知lnx 0＋1＝2，所以lnx 0＝1，因此x 0＝e.7．(·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图像关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( ) A ．f(x)＝3cosx B ．f(x)＝x 3＋x 2C ．f(x)＝1＋sin2xD ．f(x)＝e x＋x答案 C解析 A 项中，f ′(x)＝－3sinx ，是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称；B 项中，f ′(x)＝3x 2＋2x ＝3(x ＋13)2－13，其图像关于直线x ＝－13对称；C 项中，f ′(x)＝2cos2x ，是偶函数，图像关于y 轴对称；D项中，f ′(x)＝e x＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y 轴对称．故选C.8．(·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝ax2x ＋1在点(1，f(1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32 B ．－32C ．－34D.43答案 D解析 由f ′(x)＝2ax （x ＋1）－ax 2（x ＋1）2＝ax 2＋2ax （x ＋1）2，得f ′(1)＝3a 4＝1，解得a ＝43.故选D. 9．(·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝12x 2·sinx ＋xcosx ，则其导函数f ′(x)的图像大致是( )答案 C解析 由f(x)＝12x 2sinx ＋xcosx ，得f ′(x)＝xsinx ＋12x 2cosx ＋cosx －xsinx ＝12x 2cosx ＋cosx.由此可知，f ′(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项A ，B.又f ′(0)＝1，故选C.10．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C11．(·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x，则f ′(2 017)＝( ) A ．1 B ．2 C.12 017D.2 0182 017答案 D解析 令e x＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017.故选D.12．(·河南息县高中月考)若点P 是曲线y ＝x 2－lnx 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3答案 B解析 当过点P 的直线平行于直线y ＝x －2且与曲线y ＝x 2－lnx 相切时，切点P 到直线y ＝x －2的距离最小．对函数y ＝x 2－lnx 求导，得y ′＝2x －1x .由2x －1x ＝1，可得切点坐标为(1，1)，故点(1，1)到直线y ＝x －2的距离为2，即为所求的最小值．故选B.13．(·重庆一中期中)已知函数f(x)＝e x ＋ae －x为偶函数，若曲线y ＝f(x)的一条切线的斜率为32，则切点的横坐标等于( ) A ．ln2 B ．2ln2 C ．2 D. 2答案 A解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即e x＋ae －x＝e －x＋ae－(－x)，解得a ＝1，所以f(x)＝e x ＋e －x，所以f ′(x)＝e x －e －x.设切点的横坐标为x 0，则f ′(x 0)＝ex 0－e －x 0＝32.设t ＝ex 0(t>0)，则t －1t ＝32，解得t＝2，即ex 0＝2，所以x 0＝ln2.故选A.14．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)15．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________． 答案 －120解析 f ′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.16．(·重庆巴蜀期中)曲线f(x)＝lnx ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 由题意，得f ′(x)＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P(t ，f(t))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t>0，所以3－a≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a≤1. 17．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2. ∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．18．(·河北卓越联盟月考)已知函数f(x)＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 答案 (1)y ＝13x －32(2)直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26) 解析 (1)根据题意，得f ′(x)＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13， 所以要求的切线的方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 02＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 02＋1)(x －x 0)＋x 03＋x 0－16. 又直线l 过点(0，0)，则(3x 02＋1)(0－x 0)＋x 03＋x 0－16＝0， 整理得x 03＝－8，解得x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l 的斜率k ＝13， 所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．1．曲线y ＝sinx sinx ＋cosx －12在点M(π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12C ．－22D.22答案 B解析 ∵y′＝1（sinx ＋cosx ）2·[cosx(sinx ＋cosx)－sinx ·(cosx －sinx)]＝1（sinx ＋cosx ）2，∴y ′|x ＝π4＝12，∴k ＝y ′|x ＝π4＝12. 2．(2017·山东东营一模)设曲线y ＝sinx 上任一点(x ，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y ＝x 2g(x)的部分图像可能为( )答案 C解析 根据题意得g(x)＝cosx ，所以y ＝x 2g(x)＝x 2cosx 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0.故选C.3．(·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x(－12≤x ≤12)图像上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A.5π6B.3π4 C.π4 D.π6答案 B解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x＋e －x－3≥2e x·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，又∵tan α<0，所以α的最小值为3π4，故选B.4．(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________． 答案 1解析 因为f(x)＝ax 3＋x ＋1，所以f ′(x)＝3ax 2＋1，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k ＝3a ＋1，又f(1)＝a ＋2，所以切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，因为点(2，7)在切线上，所以7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.5.(·浙江十二校联考)函数f(x)的导函数f ′(x)的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1，0)，则f(0)与f(3)的大小关系为( ) A ．f(0)<f(3) B ．f(0)>f(3) C ．f(0)＝f(3) D ．无法确定答案 B解析 由题意知f(x)的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)>f(3)．选B. 6．(·江西，文)若曲线y ＝x a＋1(a∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________． 答案 2解析 由题意y ′＝αxα－1，在点(1，2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.7．(·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 答案 12log 2e解析 ∵y′＝1xln2，∴k ＝1ln2.∴切线方程为y ＝1ln2(x －1)．∴三角形面积为S △＝12×1×1ln2＝12ln2＝12log 2e.8．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4解析 ∵y′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P(－2，6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c＝4.9．若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在答案 B解析 切线方程为y ＝－2x ＋1，∴f ′(x 0)＝－2<0，故选B.10．若P ，Q 是函数f(x)＝x 2－x(－1≤x≤1)图像上任意不同的两点，则直线PQ 的斜率的取值范围是( ) A ．(－3，1) B ．(－1，1) C ．(0，3) D ．(－4，2)答案 A解析 f ′(x)＝2x －1，当x ＝－1时，f ′(－1)＝－3. 当x ＝1时，f ′(1)＝1，结合图像可知，－3<k PQ <1.11．设函数y ＝xsinx ＋cosx 的图像上的点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g(x 0)，则函数k ＝g(x 0)的图像大致为( )答案 A解析 y ′＝xcosx ，k ＝g(x 0)＝x 0cosx 0，由于它是奇函数，排除B ，C ；当0<x<π4时，k>0，排除D ，答案为A.12．(·人大附中月考)曲线y ＝lgx 在x ＝1处的切线的斜率是( ) A.1ln10B ．ln10C ．lne D.1lne答案 A解析 因为y ′＝1x·ln10，所以y ′|x ＝1＝1ln10，即切线的斜率为1ln10.13．下列函数求导运算正确的是________． ①(3x)′＝3xlog 3e ；②(log 2x)′＝1x·ln2； ③(sin π3)′＝cos π3；④(1lnx )′＝x.答案 ②14．(·天津文)已知函数f(x)＝(2x ＋1)e x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(0)的值为________． 答案 3解析 ∵f′(x)＝2e x＋(2x ＋1)e x＝(2x ＋3)·e x，∴f ′(0)＝3.15．(·课标全国Ⅲ，理)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． 答案 y ＝－2x －1解析 由题意可得当x>0时，f(x)＝lnx －3x ，则f ′(x)＝1x －3，f ′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.16．(·课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋lnx 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________． 答案 8解析 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋lnx 在点(1，1)处的切线斜率为2，故切线方程为y ＝2x －1，与y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8. 17．y ＝x·tanx 的导数为y ′＝________． 答案 tanx ＋xcos 2x解析 y ′＝(x·tanx)′＝x ′tanx ＋x(tanx)′＝tanx ＋x·(sinx cosx )′＝tanx ＋x·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tanx ＋xcos 2x. 18．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π4)的值为________．答案 1解析 因为f ′(x)＝－f ′(π4)sinx ＋cosx ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，所以f ′(π4)＝2－1.故f(π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4＝1.19．(·山西太原期中)设曲线y ＝1x在点(1，1)处的切线与曲线y ＝e x在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________． 答案 (0，1)解析 由y ＝1x 得y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x 在点(1，1)处的切线的斜率k ＝－1，所以曲线y ＝e x在点P(x 0，y 0)处的切线的斜率为1.由y ＝e x，得y ′＝e x，所以ex 0＝1，解得x 0＝0，y 0＝1，即点P(0，1)． 20．若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝lnx 的一条切线，则实数b ＝________.答案 ln2－1解析 ∵切线斜率k ＝12，y ′＝1x ，∴x ＝2，y ＝ln2.∴切线方程为y －ln2＝12(x －2)．即y ＝12x ＋ln2－1，∴b ＝ln2－1.21．已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 上横坐标为1的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他公共点． 答案 (1)y ＝－12x ＋8(2)还有两个交点(－2，32)，(23，0)解析 (1)把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4. ∴切点为(1，－4)， 又y ′＝12x 3－6x 2－18x ，∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12.∴切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0， 即(x －1)2(x ＋2)(3x －2)＝0. ∴x ＝1，－2，23.代入y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4， 求得y ＝－4，32，0，即公共点为(1，－4)(切点)，(－2，32)，(23，0)．∴除切点处，还有两个交点(－2，32)，(23，0)．。