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高中数学导数的计算


lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
2.求函数的导数的步骤:
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
(2)求平均变化率 : y f (x x) f (x) ;
x
x
(3)求极限,得导函数y f (x) lim y . x0 x
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就 是 曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
(3)y=1x+x22+x33;
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解: (1)方法一:y′=(x+1) ′(x-1)+(x+1)(x-1) ′=(x-1)+(x+1)=2x 方法二:y=x2-1 y′=(x2-1) ′=(x2) ′-1′=2x (2)y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx +x2cosx.
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一、合作探究——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
公式1: C 0 (C为常数) .
即: cf x' cf 'x
2)n个函数和(差)的导数等于n个函数导数的和 (差),即:
f1(x) f2(x) L fn (x)' f1 '(x) f2 '(x) L fn '(x)
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三、典型例题: • [例1] 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x-1); (2)y=x2sinx;
公式7.若f
(x)
loga
x, 则f
'( x)
1 x ln a
(a
0,且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
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〈2〉导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:
f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第 一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
公式2.若f (x) xn (n Q),则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x; 公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x; 公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0); 公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
练习:求函数 y=-sin2x(1-2sin24x)的导数.
y′=-
1
cosx.
2
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总结:
1、基本函数的导数公式 2、两个函数的和、差、积、商的求导法则
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4
请同学们求下列函数的导数:
2) y f (x) x, y ' 1 x0
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y
f
(x)
1, x
y
'
1 x2
x2
公式2: (xn) nxn1(n Q)
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二、新课讲解:
〈1〉基本初等函数的导数公式:
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
(3)y′=1x+x22+x33′=(x-1+2·x-2+3·x-3)′=-x-2
-4x-3-9x-4=-x12-x43-x94.
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练习:求下列函数的导数:
(1)y=x³-2x+3
(2)y=x2-2+x3-3
(1)y′ =3x²-2 (2)y′ =4x+9x²
(3)y=(2x2+3)(3x-2) (3) y′ =18x²-8x+9
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学习目标:
• 1.了解常见函数的导数公式的推导过程。 • 2.掌握常见函数的导数公式及导数运算法
则。 • 3.熟练的应用导数公式及运算法则解决一
些简单的问题。 • 【本节重点】常见函数的导数公式及导数
运算法则. • 【本节难点】公式的推导.
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复习
1.导数的定义:f
(x0 )
lim y x0 x
f (x)gg(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第 一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f (x)
g(x)
f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
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结论:
1)常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,
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[例 2] 求函数 y=sin4x4+cos44x的导数.
[解析] ∵y=sin44x+cos44x =(sin24x+cos24x)2-2sin24xcos24x =1-12sin22x=1-12·1-2cosx=34+14cosx, ∴y′=34+14cosx′=-14sinx.
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• [点评] 不加分析,盲目套用求导法则, 会给运算带来不便,甚至导致错误.在求 导之前,对三角恒等式先进行化简,然后 再求导,这样既减少了计算量,也可少出 差错.
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