100 x
(100 x)2
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
c
'( x)
5284 (100 x)2
(1)Q c '(90)
5284 (100 90)2
52.84
纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率
是52.84元/吨。
(2)Q
c '(98)
答:在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。
思考：若某种商品的p0 5，那么在第10个年头，
这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
p '(t) 1.05t p0 ln1.05,
p '(10) 5 0.08 0.4
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn ,则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
例1：假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 （p 单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:
p(t) p0 (1 5%)t.其中p0为t 0时的物价。假定某种商品 的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0.01）
解：由导数公式：p '(t) 1.05t p0 ln1.05 p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
5284 (100 98)2
1321
纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率 是1321元/吨。
x) '
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8 : (ln x) ' 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),
即:
f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函
数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平
方.即:f (x) 源自g(x)f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
由法则2: C f (x) C ' f (x) C f (x) C f (x)
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1: (C) ' 0;
公式2 : (xn ) ' nxn1;
公式3 : (sin x) ' cos x;
公式4 : (cos x) ' sin x;
公式5 : (ax ) ' ax ln a(a 0);
公式6 : (ex ) ' ex;
公式7 : (loga
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。
c '(x)=( 5284 ) ' 5284 ' (100 x) 5284 (100 x) '