D’Alembert’s principle of dynamic equilibrium
惯性力 inertia force Mass-spring-damper系统
忽略弹簧和阻尼器的质量，质量块为刚体， 运动限定沿水平x轴方向
2.1.3 SDF运动方程—地震作用 earthquake excitation
无阻尼自由振动
C=0 p(t)=0 初始条件 t=0时刻，施加初位移和初速度
u(0) u(0)
运动方程
mu ku 0
运动方程的解
u(t
)
u(0)
c
osnt
u ( 0) n
sin
nt
n
k m
周期 natural period of vibration
结构完成一个完整的振动循环过程所需要的时间，称 为结构的自然振动周期。
结构自然振动特性
n Tn fn 结构的自然特性，固有性质，与外力无关， 与初始条件无关。
频率和周期仅决定于结构的质量和刚度。刚度愈大， 频率愈高，周期愈短；质量愈大，频率愈低，周期愈 长。
振幅 amplitude of motion
u0
u(0) 2
u (0)
n
2
振幅决定于初位移和初速度 无阻尼自由振动，振幅保持不变，振动无衰减
2.1.1 SDF体系
自由度 degrees of freedom 决定结构体系相对其初始状态变形位置的独立位移
分量数目，称为结构动力分析的自由度 凉亭 水塔 单层刚架 质量元件——集中质量 刚度元件——无质量刚架 阻尼元件——粘滞阻尼器（viscous damper or
dashpot）
初始位移引起的SDF自由振动
c系=统ccr恢，复临到界平阻衡尼位系置统，（不cr出itic现al振ly 荡damospceildlastoyrsyte，m）=，1 c围<绕ccr平，衡低位阻置尼振系荡统，（振un幅de随rd时am间p递ed减s，yste<m1） ，系统 c出>现ccr振，荡过，阻恢尼复系到统平（衡ov位er置da，m但pe回d s复ys速te率m更）慢，，系统>1不 ccr代表系统不发生振荡的最小阻尼值
Tn=2/n 单位：秒
园频率 natural circular frequency
n= 2fn 单位：弧度/秒; r/s (radians per second)
频率 natural cyclic frequency of vibration
结构每一秒经历的振动循环次数
fn=1/Tn 单位：Hz（次/秒）cycles per second (cps) fn= n/2
惯性力—绝对加速度
fI+fD+fS=0
弹性力和阻尼力—相对位移u(t)
mut cu ku 0 mu cu ku mug
2.1.4 运动方程求解
结构动力响应 response
位移 速度 加速度 结构内力 内部应力 地震作用时，结构相对位移代表结构的变形，直接与
结构内力相关，因而是最重要的响应量
C—粘滞阻尼系数，单位[F][T]/[L] 阻尼系数，通常通过结构振动试验确定，由
结构振幅衰减速率推算。
2.1.2 SDF运动方程—激振力作用
激振外力p(t) 作用于SDF自由度方向—u方向 牛顿第二定律 Newton’s second law of motion
p(t) fs fD mu fs ku fD cu mu cu ku p(t)
绝对位移与相对位移
地基位移ug(t) 质量总位移或绝对位移ut(t) Total or absolute displacement 质量对地基的相对位移u(t) Relative displacement
ut (t) u(t) ug (t) ut (t) u(t) ug (t)
动力平衡方程
2.2.2 粘滞阻尼SDF自由振动
运动方程
mu cu ku 0
u
c m
u
k m
u
0
u 2nu n2u 0
n
k m
c ccr
ccr 2mn
阻尼
阻尼比 damping ratio 临界阻尼系数ccr critical damping coefficient
临界阻尼系数的物理意义
力—位移 关系 刚架弹性抗力与刚架水平侧向位移的关系
fs=ku k—刚架侧向刚度系数 阻尼damping
振动过程中的能量耗损机制：固体结构往复变形的 内摩擦效应；连接结构的摩擦和往复碰撞效应；混 凝土结构内部微裂纹的往复开合效应。
等效阻尼器
线性粘滞阻尼器：阻尼力与变形速度成正比
fD cu
经典解法
线性微分方程的完全解由通解与特解之和构成 二个积分常数由初始条件确定 自由振动问题 激振力可用解析式表达的动力问题如：
简谐振动、阶跃和脉冲激振等
Duhamel积分
属时域解法 time-domain method
基本思想：将激振力p(t)划分为一系列脉冲，结构响应 u(t)为结构对t时刻之前所有脉冲激振的响应之和。
数值分析法
以上三种方法只适用于线性结构的动力分析 动力非线性分析只能采用数值逐步积分方法
numerical time-stepping method
2.2 SDF自由振动 Free viபைடு நூலகம்ration
无阻尼系统自由振动 粘滞阻尼系统自由振动
2.2.1 无阻尼SDF自由振动
自由振动
结构自平衡位置受到扰动，然后在不受外力的情况 下自行振动的振动过程，称为自由振动。
2 单自由度体系动力特性及地 震动力响应
Single-degree-of-freedom (SDF) system
SDF运动方程 SDF自由振动 Duhamel积分 SDF动力响应数值分析方法 地震反应谱
2.1 SDF运动方程
SDF体系 激振外力作用下的运动方程 地震作用下的运动方程 运动方程求解方法
结构位移响应的计算公式为一卷积积分公式，称为 Duhamel积分。
p(t)为简单表达式，可得到解析表达的积分结果；对p(t) 为复杂函数情况，可采用数值方法求积分。
频域解法 frequency-domain method
Laplace变换和Fourier变换 适用于分析结构与无限介质相互作用问题