。
3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1,则交比(ad,bc)=______。
4、平面上4个变换群,射影群,仿射群,相似群,正交群的大小关系为:
。
5、二次曲线的点坐标方程为 ,则其线坐标方程为就是。
二、选择题(每小题2分,共10分)
1、下列哪个图形就是仿射不变图形？( )
A、圆B、直角三角形
5、 (6分)求由两个射影线束 , , 所构成的二阶曲线的方程。
6、 (8分) 试求二次曲线Γ: +2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。
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一、 填空题(每小题4分,共20分)
1、1(4分)
2、如果两个三线形对应边的交点在一条直线上,则对应顶点的连线交于一点。(4分)
3、 (8分)在直线上取笛氏坐标为 2,0,3的三点作为射影坐标系的P*,P0,E,(i)求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系;(ii)问有没有一点,它的两种坐标相等？
4、 (8分)求点列上的射影变换,它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点,并求出此射影变换的自对应元素的参数。
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C、矩形D、平行四边形
2、 表示( )
A、以-1/4为方向的无穷远点与以1/2为方向的无穷远点
B、 以-4为方向的无穷远点与以2为方向的无穷远点
C、 以4为方向的无穷远点与以-2为方向的无穷远点
D、 以1/4为方向的无穷远点与以-1/2为方向的无穷远点
3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( )
系专业班学号姓名
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试卷类型:A
高等几何
使用专业年级考试方式:开卷( )闭卷(√)共6页
题号
一
二
三
四
五
六
合计
得分
一、填空题(每小题4分,共20分)
1、设 (1), (-1), ( )为共线三点,则 。
2、写出德萨格定理的对偶命题:
A、一次B、两次
C、三次D、四次
4、下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( ):
A、 三角形的垂心 B、 梯形
C、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D、椭圆
5、二次曲线按射影分类总共可分为( )
A、4类B、5类
C、6类D、8类
三、判断题(每小题2分,共10分)
1、仿射对应不一定保持二直线的平行性。( )
2、两直线能把射影平面分成两个区域。( )
3、当正负号任意选取时,齐次坐标 表示两个相异的点。( )
4、 在一维射影变换中,若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件,则此
射影变换一定就是对合。( )
5、配极变换就是一种非奇线性对应。( )
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∴当x=0及x= 时两种坐标相等。(4分)
3.(8分)
设射影变换的方程为: (2分)
由题意知:a+ ,
,6a+3b+2c+d=0
得到:
故射影变换方程为: (4分)
二重元素满足: 得 =7/3或 =1 (2分)
(6分)
解:由题意:
(2分)
由上式得: (2分)
故所求方程即为 (2分)
6、(8分)
解:二次曲线的齐次方程为:x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0,
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1.(6分)
(1) (2分)
(2)(1,1/2,0) (2分)
(3) (2分)
2.(8分)
解:笛氏坐标023x
射影坐标:P*P0Eλ
(i)由定义λ=(P*P0,EP)=(2 0,3x)=
(4分)
(ii)若有一点它的两种坐标相等,即x=λ则有 ,即3x2－7x=0,
∴二次曲线为常态的,
设中心
则中心为 (4分)
求渐近线方程:a11X2+2a12XY+a22Y2=0,X=x－ξ,Y=y－η。
从X2+3XY－4Y2=0→(X+4Y)(X－Y)=0、
X+4Y=(x－ )+4(y+ )=0→5x+20y+18=0,(2分)
X－Y=(x－ )－(y+ )=0→5x－5y－8=0。(2分)
3、2(4分)
4、射影群包含仿射群,仿射群包含相似群,相似群包含正交群(4分)
5、 (4分)
二、选择题(每小题2分,共10分)
1、(D),2、(C),3、(B),4、(A),5、(B)
三、判断题(每小题2分,共10分)
1、(×),2、(√),3、(×),4、(√),5、(√)
四、作图题(8分)
五、
第
六、计算题(42分)
1、 (6分)平面上经过A(-3,2)与B(6,1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点,求单比(ABP)
2、 (6分)已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0,求
(1)l的齐次坐标方穷远点的方程。
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由德萨格定理的逆定理知,(2分)
对应边的交点BT与DQ的交点G,TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线,即TS与QP的交点M在直线GH上。(2分)
六、计算题(42分)
1.(6分)
解:设P点的坐标为(x0,yo)
(分割比),(2分)
且P在直线x+3y-6=0上,
解得λ=1,(2分)
即P就是AB中点,且(ABP)=－1(2分)
四、作图题(8分)
已知线束中三直线a,b,c,求作直线d,使(ab,cd)=-1。(画图,写出作法过程与根据)
五、证明题(10分)
如图,设FGH就是完全四点形ABCD对边三点形,过F的两直线TQ与SP分别交AB,BC,CD,DA于T,S,Q,P、试利用德萨格定理(或逆定理)证明:TS与QP的交点M在直线GH上。
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共
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作法过程:
1、设a,b,c交于点A,在c上任取一点C, (2分)
2、过C点作两直线分别与a交于B、E,与b交于F,D,(2分)
3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。(2分)
根据:完全四点形的调与共轭性(2分)
六、证明题(10分)
证明:在三点形BTS与三点形DQP中(4分)
对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点,(2分)