浅谈矩阵对角化及其应用（米亚兄）- 天津商业大学商学院【优秀资料】(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）浅谈矩阵对角化及其应用写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。

众所周知：n维向量空间V中的线性变换δ可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而δ可对角化的充要条件是δ关于V的矩阵A可对角化。

内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。

关键词：矩阵对角化特征多项式特征值特征向量导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。

具体内容：1、矩阵可对角化的条件：1）设δ是n维线性空间的一个线性变换，δ的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是δ有n 个线性无关的特征向量。

2）方块矩阵A被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P−1AP是对角矩阵。

3）设A 是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T，使得T1-AT=∧,那么，就说矩阵A 是可以对角化的。

可对角化矩阵的基本性质和结论：1）数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

2）数域F上n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角化。

3） 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。

4）如果在n 维空间V 中，线性变换δ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即δ有n 个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。

5） 任一n 阶实对称矩阵都可以对角化。

6）对任一n 阶实对称矩阵A ，必存在n 阶正交矩阵T 使得T 1-AT=diag(1λ,2λ,...,n λ)，其中（1λ,2λ,...,n λ为A 的特征根)。

5）实对称矩阵 的任一个特征值都是实数。

6）实对称矩阵对应于不同特征值的实特征向量是正交的。

2、矩阵对角化的方法及实例解析：（以实对称矩阵为例）实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。

设A 是一个n 阶实对称矩阵，α , β 是任意的n 维实向量，那么 (Aα,β)=(α,Aβ)设A 是一个n 阶实对称矩阵，T=[]n X X X (21)是一个正交矩阵使得，则1λ,2λ,…n λ是A 的所有特征值，而X 1,X 2,…X n 是A 的n 个相互正交的单位特征向量。

例1 设A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------2111121111211112，求正交矩阵T ，使得T 1-AT 为对角阵。

解：由A E -λ=2111121111211112---------λλλλ=)5()1(3--λλ得的特征值为1λ=2λ=3λ=1（三重特征值）,4λ=5.当1λ=1时，由(1λE-A)=0，即： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1111111111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000 得基础解系为1α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011， 2α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101，3α= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1001 ，把它正交化，得1β=1α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011，2β=2α-11112,,ββββα=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-012121，3β=3α-22223,,ββββα-11113,,ββββα=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1313131 再将其单位化得：1η=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡002222，2η=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0366666，3η= ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---23636363当4λ=5时，由(1λE-A)=0即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3111131111311113⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000， 得基础解系为4α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1111,将其单位化得：4η=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21212121 则1η,2η,3η,4η是A 的一组单位正交的特征向量，令T=[]4321ηηηη=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21232163362163662221336622000则T 是一个正交矩阵。

且T 1-AT ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5111 例2 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡522242224，求正交矩阵T ，使得T 1-AI 为对角阵。

解：由λE-A=42242224---------λλλ=(λ-2)2(λ-8) 得的特征值为1λ=2λ=2（二重特征值），3λ=8。

=当1λ=2λ=2时，由(1λE-A)X=0，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------222222222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000 得基础解系为1α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011，2α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101，把它正交化得： 1β=1α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011,2β=2α-11112,,ββββα=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12121。

再将其单位化得：1η=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02222,2η=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--366666。

当3λ=8时，由（3λE-A ）X=0，即：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------422242224⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000 得基础解系为3α=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，将其单位化得：3η=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333333。

则1η,2η,3η是的一组单位正交的特征向量，令T=[]321ηηη=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---33363366223322066 则T 是一个正交矩阵，且T 1-AT=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡822. 3、可对角化矩阵的应用可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的意义，例如其在求特征值、特征向量方面有着重要的应用，可以简化计算。

1）求方阵的高次幂一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若矩阵A 能相似于对角矩阵(A 可以对角化),即若存在可逆矩阵P ,使得P 1-AP=B,其中B 是对角阵.则A =PBP 1-,A n =（PBP 1-)n =PBP 1- PBP 1-…PBP 1-=PB n P 1-,而对角阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成,所以可通过A 的相似对角阵来求A n 。

例1 作为计算矩阵高次幂的一个实例,考察如下问题:设某城市共有3 0 万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:(1)在这30 万就业人员中,目前约有15 万人从事农业,9 万人从事工业,6 万人经商;(2)在从农人员中,每年约有20% 改为从工,10% 改为经商;(3)在从工人员中,每年约有20% 改为从农,10% 改为经商;(4)在从商人员中,每年约有10% 改为从农, 1 0 % 改为从工。

现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多之后,从事各业人员总数之发展趋势。

解:若用3 维向量X i 表示第i 年后从事这三种职业的人员总数, 则已知X o= ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛6915,而欲求X 1,X 2并考察在n →∞时X n 的发展趋势,引进 3 阶矩阵A =[a ij ]用以刻画从事这三种职业人员间的转移,例如:a 23 =0.1 表明每年有10%的从工人员改去经商。

于是有A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡8.01.01.01.07.02.01.02.07.0, 由矩阵乘法得 X 1 =A T X 0= AX 0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.79.199.12 ,X 2 = A X 1= A 2X 0=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛04.823.1073.11所以X n = A X 1-n =A n X 0要分析X n 就要计算A 的n 次幂A n ,可先将A 对角化即E A λ- =λλλ---8.01.01.01.07.02.01.02.07.0=(1- λ)(0.7- λ)(0.5-λ ) 特征值为1λ=1, 2λ=0.7, 3λ=0.5分别求出对应的特征向量q 1,q 2,q 3 并令Q=[ q 1,q 2,q 3 ],则有A = Q BQ 1-从而有A n =Q BQ 1- ,再由X n =A n X 0，B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5.00007.00001,B n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n n 5.00007.00001可知n →∞时B n 将趋于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000001,故知A n 将趋于Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000001Q 1-,因而X n 将趋于一确定常量X * , 因而X 1-n 亦必趋于X * , 由X n =AX 1-n 知X* 必满足X*=AX*, 故X* 是矩阵A 属于特征值1λ= 1 的特征向量, X * =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111t=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t ,t +t+t =3 =30,t =10,照次规律转移,多年之后,从事这三种职业的人数将趋于相等, 均为10 万人。

2 利用特征值求行列式的值例1 设n 阶实对称矩阵A 满足A 2=A ,且A 的秩为r, 试求行列式的值。

解: 设AX =λX , X ≠ 0,是对应于特征值λ的特征向量, 因为A 2 = A , 则λX = A X =A 2X =2λX ,从而有(2λ-λ )X =0,因为X ≠ 0所以λ( λ-1)=0,即λ=1或0,又因为A 是实对称矩阵,所以A 相似于对角矩阵,A 的秩为r, 故存在可逆矩阵P , 使得P1-AP = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE =B , 其中E r 是r 阶单位矩阵, 从而A E -2=112---PBP PP =B E -2=2r n - 3 由特征值与特征向量反求矩阵若矩阵A 可对角化,即存在可逆矩阵P 使P 1-AP = B , 其中B 为对角矩阵,则A =PBP 1-例1 设3 阶实对称矩阵A 的特征值为1λ=-1, 2λ=3λ=1,对应于1λ 的特征向量为P 1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110,求矩阵A 。

解:因为A 是实对称矩阵,所以A 可以对角化,即A 有三个线性无关的特征向量,设对应于2λ=3λ=1的特征向量为P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,它应与特征向量P 1正交, 即[P ,P 1]= 0X 1+X 2+X 3=0,该齐次方程组的基础解系为P 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001,P 3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,它们即是对应于2λ=3λ=1 的特征向量。