三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一：利用这一有界性求最值。

1cos 1sin ,≤≤x x 例1：求函数的值域。

x x y sin 21sin --=解：由变形为，知，则有，x x y sin 21sin --=(1)sin 21y x y +=+1y ≠-21sin 1y x y +=+，则此函数的值域是21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤2[,0]3y ∈-例2,若函数的最大值是1，最小值是，求a,b cos y a x b =+7-0,1,7430,1,74,3a ab a b a b a a b a b a b >+=-+=-⇒==-<-+=+=-⇒=-=-，练习：1，求函数的值域1cos 3cos xy x-=+3][1-∞-∞ （，，+）2,函数的定义域为[a ，b]，值域为，则b-a 的最大值和最小值之和为bx y sin =]21,1[-A ． B ． C ． D ．34ππ238ππ4类型二：型。

此类型通常可以可化为求其最值（或值域）。

x b xa y cos sin +=sin cos )y a xb x x ϕ=+=+例1：求函数的最值。

3sin 4cos ,(0,)2y x x x π=+∈解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55(,),(3,5]2y x x x x y ϕϕϕπϕϕϕ=+=+==+∈+∈2,求函数（）的最值。

3sin(6sin(ππ++-=x x y R x ∈解法:，∴函数的最大值为，最小值12sin(2]4)6sin[(26cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y 2为。

2-练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A 、B 、C 、7 D 、82152162,已知函数，，直线x ＝t （t ∈）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的x x f 2sin )(=62cos()(π+=x x g ⎦⎤⎢⎣⎡2,0π最大值是．3类型三：型。

此类型可化为在区间上的最值问)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y )0(2≠++=a c bt at y ]1,1[-题。

例1：求函数（）的最值1sin 3cos 2++=x x y R x ∈解：49)23(sin 1sin 3sin 122+--=++-=x x x y ∴函数的最大值为，最小值为494325-例2：求函数（，）的最大值。

1sin 3cos 2++=x a x y R a ∈R x ∈解：转化为配方得：1sin3cos 2++=x a x y 2sin sin 2y x x =-++243)23(sin 22++--=a a x y ①当，即时，在sinx=1，123>a 332>a13max +=a y②当时，即时，在sinx=－1，123-<a 332-<a 13max +-=a y ③当，即时，在时，1231≤≤-a 332332≤≤-a a x 23sin =2432max +=a y 综上：2max 1(32(41(a y a a a +>⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪+<⎪⎪⎩练习：函数的值是dθθπ则上的最大值为在区间,1],32[cos 2sin )(2-+=x x x f A ．0B ．C ．D ．—3π2π2π类型四：型。

)0(cos sin sin 2≠+⋅+=a c x x b x a y 例：求函数的最值，并求取得最值时x 的值。

2474(cos sin 4sin 3cos 35)(22ππ≤<-+=x x x x x x f 解：x xx x f 2sin 222cos 1322cos 135)(--++=332sin 23cos 32+-=x x 33)62cos(4++=πx ∵， ∴，∴2474ππ≤<x 436232πππ≤+<x 21)62cos(22-<+≤-πx ∴的最小值为，此时，无最大值。

()f x 2233-247π=x ()f x 练习：已知：求的最大值及此时的集合．212cos 1siny x x x x R =⋅+∈，，y x 解：∵，∴当时，212cos 1siny x x x =+⋅+1cos 21521sin(2)4264x x x π+=+=++sin(216x π+= ．此时，即．max 157244y =+=2262x k πππ+=+，6x k ππ=+ 所以的最大值为，此时的集合为．y 74x {|}6x x k k Z ππ=+∈，类型五：型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为再利用dx c bx a x f ++=cos sin )(c x b x a =+cos sin 辅助角公式求其最值；②采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例：求函数的值域。

sin cos 2xy x =-解法1：将函数变形为，∴由sin cos 2x y x =-cos sin 2y x x y -=sin()x φ+=，解得：|sin()|1xφ+=≤22(2)1y y ⇒≤+y ≤≤[解法2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数得最值，由几何知识，sin cos 2xy x =-易求得过Q 的两切线得斜率分别为。

结合图形可知，此函数的值域是。

[练习：求函数的最值。

3cos 2sin 2)(--=θθθf ∴y/2即为单位圆上的点(cosθ，sinθ)与定点(3，1)连线的斜率，由数形结合可知y/2∈[0，3/4], ∴3cos 1sin 2--=θθy y∈[0，3/2]类型六：含有的最值问题。

解此类型最值问题通常令，x x x x cos sin cos sin ⋅±与x x t cos sin ±=，，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。

x x t cos sin 212⋅±=22≤≤-t 例：求函数的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。

sin cos sin cos y x x x x =⋅++解法1：设t=sinx +cosx ，则 ∴ ∴)4sin(2π+=x t ]2,2[-∈t )1(21cos sin 2-=t x x ∴ 。

1)1(21)1(2122-+=+-=t t t y 221max +=y 解法2：，，)4sin(22sin 21cos sin cos sin π++=++⋅=x x x x x x y 44x x ππθθ+=⇒=-2111sin(2cos 2sin 2222y πθθθθθθ=-+=-=-max 12y =练习：1,求函数的最大、最小值．(sin 2)(cos 2)y x x =--解：原函数可化为：，令，则sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++sin cos (||x x t t +=≤，∴．21sin cos 2t x x -=2211324(2)222t y t t -=-+=-+∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，2[t =∉[t =2()4x k k Z ππ=+∈时，．min 92y =-t =32()4x k k Z ππ=-∈max 92y =+2,函数的值域是dA ．B ．xx x x x f cos sin 1cos sin )(++=[][]12,11,12---- ⎦⎤⎢⎣⎡-+-212,212C ．D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡---122,122⎥⎦⎤ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-212,11,212 类型七:型（转化为对号函数）函数最值问题。

sin (0)sin by a x x xπ=+<<例：求函数的最大、最小值xx x y 2sin sin 22sin 1+--=∵1－sinx≥0xx x x y sin 11sin 111)sin 1(sin 12-+-=+--=∴ y≥0,当sinx=1时Y min =0,当1－sinx>0时,1－sinx+≥2, y max =1/2xsin 11-已知 ，则函数的最大值与最小值的和为 .34ππ≤≤x xx y cos )6sin(2+=π35+当时,函数的最小值404x π<<22cos ()cos s ins in xf x x x x =-练习：1,已知，求函数(0,)x π∈y =2,当时，函数的最小值为 420π<<x 21cos28cos ()sin 2x x f x x -+=2221cos 28cos 2sin 8cos 4()tan sin 22sin cos tan tan (0,),()[4,)x x x x f x x x x x xx f x -++===+∈+∞∈+∞类型八：条件最值问题。

例1：已知，求的取值范围。

αβαsin 2sin 2sin 322=+βα22sin sin +=y 解：∵，∴αβαsin 2sin 2sin322=+ααβsin sin 23sin 22+-=∵∴1sin 02≤≤β32sin 01sin sin 230sin sin 2322≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-ααααα解得∵ \21)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy ∵∴sin α=0时，； 时，32sin 0≤≤α0min =y 32sin =α94max =y ∴。

94sin sin 022≤+≤βα2,2sin cos ,cos sin 3x y x y=则的取值cos sin 2sin cos cos sin sin()[1,1]32sin cos cos sin sin()[1,1]311[,33x y tx y x y x y t x y x y x y t t =+=+=+∈--=-=-∈-∈-设练习：1,已知Sinx+Siny=，求Siny —cos 2x 的最大值31942,已知，因式cos x +cos y 的最大值为22sin sin =+y x A ．2 B ．0 C ．D ．D14142142222cos cos ,sin sin 1(sin sin )(cos cos )22cos()23[2,2],[2x y t x y x y x y x y t t t +=+=+++=+-=+-∈-∈类型九：其他问题例1：函数在的最小值为cos sin y x x x =-3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦'''max 3cos sin sin 0,,223,[,),(,],22y x x x y x x x x x y x y y ππππππππ⎡⎤=-⇒=-=∈⎢⎥⎣⎦=∈>0;∈<0=-2,求函数的最大值和最小值，x x y -+=1并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。