●高考明方向了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.★备考知考情定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等.一、知识梳理《名师一号》P13知识点一常见基本初等函数的定义域注意：1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0(3)一次函数、二次函数的定义域均为R(4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)文案大全文案大全(6)函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充）三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为 {|,,}2∈≠+∈x x R x k k Z ππ如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．知识点二 基本初等函数的值域注意：值域必须写成集合或区间的形式！！！(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a}； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a } (3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R . （补充）三角函数中正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1-文案大全 正切函数y ＝tan x 值域为R《名师一号》P15知识点二 函数的最值注意：《名师一号》P16 问题探究 问题3函数最值与函数值域有何关系？函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在． 1、温故知新P11 知识辨析1（2）函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （ ）答案：正确2、温故知新P11 第4题文案大全函数(]()1122,,222,,2--⎧-∈-∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩x x x y x 的值域为（ ） 3.,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A ().,0-∞B 3.,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C (].2,0-D答案：D注意：牢记基本函数的值域3、温故知新P11 第6题函数()=y f x 的值域是[]1,3，则函数()()123=-+F x f x 的值域是（ ）[].5,1--A [].2,0-B [].6,2--C [].1,3D答案：A注意：图像左右平移没有改变函数的值域二、例题分析：（一)函数的定义域1．据解析式求定义域例1. （1）《名师一号》P13 对点自测1文案大全(2014·山东) 函数()=f x 的定义域 为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)解析 要使函数有意义，应有(log 2x )2>1，且x >0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12. 所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 例1. （2）《名师一号》P14 高频考点 例1（1）函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]文案大全解析：由题意得⎩⎨⎧ 1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（1） 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． 函数的定义域一定要用集合或区间表示例2. (补充)若函数2()lg(21)f x ax x =++的定义域为R则实数a 的取值范围是 ；答案：()1,+∞变式：2()lg(21)=++f x ax ax ?练习：(补充)文案大全 若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R 则实数k 的取值范围是 ；答案：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．求复合函数的定义域例3.（1）《名师一号》P14 高频考点 例1（2）(2015·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]，则函数y ＝f (2x )－ln(x －1)的定义域为( )A ．[1,2]B ．(1,2]C ．[1,8]D ．(1,8]解析：由已知函数y ＝f (x )的定义域为[0,4]．则使函数y ＝f (2x )－ln(x －1)有意义，需⎩⎨⎧ 0≤2x ≤4，x －1>0，解得1<x ≤2，所以定义域为(1,2]．例3. （2）《名师一号》P13 对点自测2文案大全已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f (f (x ))的定义域是( )A ．{x |x ≠－1}B ．{x |x ≠－2}C ．{x |x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ≠－1或x ≠－2}解析 ⎩⎨⎧ x ≠－1，1x ＋1＋1≠0，解得x ≠－1且x ≠－2.注意：《名师一号》P14 高频考点 例1 规律方法（2） （P13 问题探究 问题1 类型二）已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域， 是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．例4．(补充)已知2(1)f x +的定义域是[]0,1，求()f x 的定义域。

文案大全答案：[]1,2 注意： 《名师一号》P13 问题探究 问题1 类型三 若已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，求()f x 的 定义域相当于当[],x a b ∈时，求()g x 的值域 （即()f x 的定义域）练习：(补充)已知()f x 的定义域是[]0,1，求函数2()()g x f x =的定义域。

已知2()()g x f x =的定义域是[]1,1-，求函数()f x 的定义域。

如:()=f x 的定义域是[]0,1,2()()==g x f x []1,1-练习：(补充)1、设函数1()ln 1+=-x f x x，文案大全 求函数1()2⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x g x f f x 的定义域。

答案：112111⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩x x 得()()2,11,2--U2、设函数2(23)--f x x 的定义域为[]0,3，求函数()f x 的定义域。

答案：[]0,3∈x 得[]2234,0--∈-x x3．实际问题中函数定义域的确定注意：实际问题中函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义（二）求函数值域注意：求函数的值域先求定义域！(1)确定函数值域的原则①当函数y ＝f (x )用表格给出时，函数的值域是指表格中y的值的集合．②当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合．③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定．(2)基本初等函数的值域(3)求函数值域的方法求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：《名师一号》P14 问题探究问题2怎样求解函数的值域？求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．文案大全文案大全(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)、（4） 基本不等式、导数法例1. 《名师一号》P14 高频考点 例2（1）求函数4=-y 的值域答案: []2,4 小结: 求函数值域的基本方法1．配方法： 《名师一号》P14 问题探究 问题（2） ——配方法是求“二次型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的值域问题，均可使用配方法，要特别注意自变量的范围；二次函数在给定区间上的最值有两类：（1）求闭区间[],m n 上的最值； （2）求区间定（动），对称轴动（定）的最值----二次函数专题例2. （1）(补充)文案大全求函数()22211log log 5,,42⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦y x x x 的值域答案: []7,11例2. （2）《名师一号》P14 高频考点 例2（2） 求函数y ＝2x －1－2x 的值域方法1：令 1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22. ∴y ＝1－t 2－t ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋54. ∵二次函数对称轴为t ＝－12， ∴在[0，＋∞)上，y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋54是减函数． 故y max ＝－⎝⎛⎭⎪⎫0＋122＋54＝1， 故函数有最大值1，无最小值，其值域为(－∞，1]．文案大全 函数，故y ＝2x －1－2x 是定义域为{x |x ≤2}上的增函数，故y max ＝2×12－ 1－2×12＝1，无最小值． 故函数的值域为(－∞，1]．变式：求函数2=+y x分析:令()0=≥t t答案: 5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ≠0)的函数令=t例2. （3）(补充)求函数=+y x文案大全分析:令,2sin 2-≤⎛⎫= ⎪⎝⎭≤x t t ππ 答案:⎡-⎣ 练习：求函数3=+y 的值域分析:令,22⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭x t t ππ 答案: []1,2-小结: 求函数值域的基本方法2．换元法：《名师一号》P14 问题探究 问题（3） 运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定 的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：文案大全令=t结构的函数，可以利用三角代换， 令[]cos ,0,=∈x a θθπ， 或令sin ,,22⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x a ππθθ转化为三角函数 强调：换元后要确定新元的取值范围！例3. （1）《名师一号》P14 高频考点 例2（3） 求函数4=+y x x的值域例3. （2）(补充)求函数()2301=<++x y x x x 的值域文案大全()2330111==<++++x y x x x x x 11211+≤-∴++≤-Q x x x x 33011-≤<++x x答案：[)3,0-变式1：求函数231x y x x =++的值域答案：[]3,1- 变式2：求函数()()231133x y x x x +=<-++的值域答案：[)3,0-文案大全小结: 求函数值域的基本方法3.不等式法：《名师一号》P17 高频考点 例3 规律方法 (3)利用基本不等式：a ＋b ≥2ab (a 、b ∈R ＋)求函数的值域． 用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件 “一正、二定、三相等”．例4. （1）(补充)求函数2=y 的值域答案：5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例4. （2）求函数2y x =-（前面换元法已讲解）答案：(],1-∞ 小结: 求函数值域的基本方法文案大全 4.利用函数单调性: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5） 根据函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性求出函数的值域．(补充)注意双勾函数()()0k f x x k x=+>的单调性!函数在区间(单调递减;函数在区间)+∞单调递增.例5. （1）温故知新P11 知识辨析1（2） 函数21=+x y x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （ ）答案：正确例5. （2）(补充) 求函数()122-=+x f x x 的值域.文案大全 值域{}2≠-y y小结: 求函数值域的基本方法5.分离常数法: 《名师一号》P14 问题探究 问题（5） 形如()0cx d y a ax b+=≠+的函数的值域可使用此法 练习：1、()125-=+x f x x 2、()1212-=+x x f x 3、()224534--=--x x f x x x答案：1、12⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭y y 2、()1,1- 3、()()()()()()51541414-+-==≠≠--+-x x x f x x x x x x 且615⎧⎫≠≠⎨⎬⎩⎭y y y 且 例6.《名师一号》P14 高频考点 例2（4） 求函数331=+xx y 的值域文案大全法一：换元+分离常数法※法二：利用函数有界性由y ＝3x 3x ＋1，得3x ＝y 1－y. ∵3x ＞0，∴y1－y＞0，∴0＜y ＜1. ∴原函数的值域为(0,1)，无最值．变式1：(补充)求函数()1212-=+xx f x 的值域答案： ()1,1-法一：换元+分离常数法※法二：利用函数有界性变式2：(补充)求函数()1sin 1sin -=+x f x x 的值域答案： [)0,+∞ 法一：换元+分离常数法文案大全※法二：利用函数有界性小结: 求函数值域的基本方法※6．函数有界性法：(补充)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过的函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数、指数函数的有界性。