求函数的值域在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

函数的值域，就是已知函数的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。

研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下。

一、观察法求函数的值域 1 1+=x y 23+=x y 3 42-=x y 42sin +=θy 5 32-=x y 6 11+=x y 7 3cos 2+=θy 提示：（1）一次函数R y b kx y ∈+=,。

（2）二次函数0,2≥=y x y 。

（3）幂函数0,≥=y x y 。

（4）指数函数0,>=y a y x 。

（5）反比例函数0,≠=y xky 。

（6）三角函数]1,1[,cos ,sin -∈==y y y θθ 二、利用函数的单调性求值域 1已知[0,1]x ∈，则函数21y x x =+-的值域是 23⎡⎣ .2函数4()([3,6])2f x x x =∈-的值域为______[]1,4______。

3 已知函数]2,1[,42)(∈-=x xx x f 的值域 ]2,2[-4 已知函数),1[,22+∞∈-=-x y xx 的值域 ),23[+∞5求函数]10,2[,1log 225∈-+=-x x y x 的值域。

]33,81[提示：（1）利用函数的单调性，将定义域的取值带入函数求值。

三、分离常数法求函数的值域1求函数x x y -+=132的值域2-≠y 2求函数2323--=x x y 的值域 32-≠y3求函数25422----=x x x x y 的值域 R y ∈{2≠y 且1≠y }提示：（1）函数a c y b ax d cx y ≠++=,。

（2）函数ef a b e fcd y a c y f ex b ax f ex d cx y --≠≠++++=且,,))(())(( 四、二次函数的值域问题1函数22)(2+-=x x x f 在区间]4,0(的值域为（ ]10,1[ ）2函数21,(12)y x x =-+-≤<的值域是（ (]3,1- ）3函数1422-+=x x y 的值域 ),3[+∞-4函数6822++-=x x y 的值域 ),3[+∞-提示：（1）二次函数c bx ax y ++=2，当]44,(,0);,44[,022ab ac y a a b ac y a --∞∈<+∞-∈>。

（2）函数]4,1[,322∈++=x ax x y 的最值，动轴定区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。

（3）函数],1[,342a x x x y -∈+-=的最值，定轴动区间的值域问题，需要讨论对称轴与区间的关系。

五、判别式求函数的值域 1求函数2212+++=x x x y1求函数132222+-+-=x x x x y 的值域.]310,2(2求函数12322++--=x x x x y 的值域]32123,3()3,32123[+- 提示：（1）函数)0(112111212222≠++++++=c x b x a c x b x a c x b x a y ，不能求值域，需要转化为关于x 的一元二次方程0)()()(2121221=-+-+-c y c x b y b x a ya ，然后042≥-ac b ,解关于y 的一元二次不等式。

六、反解法求函数的值域1 求函数2211x x y +-=的值域 ]1,1(- 2求函数132222+-+-=x x x x y 的值域.]310,2(提示：（1）把2x 看作一个整体，反解x ，得到2x 的表达式，然后根据分离常数的思路解y 的取值范围。

六、换元法求函数的值域 （三角换元和根式换元） 1 求函数x x y 21-+=的值域；]1,(-∞2 已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 033=+-y x 的距离的最小值。

263 已知函数21x x y -+=的值域是 ]2,1[-提示：（1）上述1中，将根式令为021≥=-t x ，然后转化为2122-+-=t t y ，利用二次函数的思路求值域。

（2）三角函数换元，就是利用椭圆的参数方程解决最值问题，上述椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ，（θ为参数），然后利用点到直线的距离即可。

七、线性规划中的最值问题1 若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为_____-1_____。

2设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；则2z x y =-的取值范围为 [3,3]-提示：（1）已知约束条件围成一个区域，然后根据区域的顶点带入目标函数求最值。

八、切线的斜率法 1求函数2cos sin -=θθy 的值域.]33,33[-2求函数xxy cos 24sin 3++=的值域 ]333,333[+- 提示：（1）先根据参数方程三角换元，然后在利用斜率公式求取值范围。

九、三角函数中的值域问题1函数2()sin 3cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( 32 )2 函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为]3,3[-3已知函数2π()sin 3sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围。

302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，提示：（1）这是三角函数b x A y ++=)sin(ϕϖ在某区间上的取值问题。

十、基本不等式求最值问题1已知1log log 22=+y x ，则y x +的最小值为 22 。

2 已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 ),9[+∞ 。

3若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是______332_______。

提示：（1）基本不等式形式中主要有：)0,0(,2>>≥+b a ab b a ，)0,0(,2<<-≤+b a ab b a 。

（2）222)2(,2b a ab ab b a +≤≥+ 十一、双绝对值中的取值范围1 求函数31---=x x y 的值域 ]2,2[-2 已知函数52---=x x y 的值域 ]3,3[-3 若不等式a x a x ≥-+-2对任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围]3,(-∞提示：（1）双绝对值是分段函数的另一种形式，],[,b a b a y b x a x y +--∈---=。

（2）三角不等式b a b x a x b x a x -≥+-+≥+++)()( 十二、构造法求函数的值域 1求函数5413622++++-=x x x x y 的值域 ),43[+∞2函数22()ln(11)f x x x x x =++-+的值域为 (),0-∞ . 3 函数 11--+=x x y 的值域 ]2,0(提示：第1,2题将构造成两点间的距离；第3题构造成双曲线。

十三、利用导数求函数的最值1求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值。

2和-122 已知函数x x x f -=ln )(的最大值 -1 3设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++，求)(x f 的最大值2ln 提示：上述用导数研究函数的单调性，先求导，再求极值点，然后通过函数的单调性求最值。

习题一、求下列函数的值域1 ]2,1[,1)(∈+=x x x f2 ]2,1[,2)(∈=x x f x3 ]2,1[,log )(2∈=x x x f4 ]4,0[,cos sin )(π∈+=x x x x f 5 ]2,0[,cos sin 3)(π∈+=x x x x f 6 ]1,1[),3(log )(2-∈+=x x x f 7 ]4,1[,32)(2-∈--=x x x x f 8 ]2,1[,2log )(2∈+=x x x x f 9 ]2,1[,log )(2∈=x x x f二、有关函数的值域问题1 已知函数]4,1[,12∈+=x x y 的值域为 ]9,3[ 2已知函数12+=x y 的值域为 R3已知函数x y 2=的值域为 0≠y 4已知函数14+-=xy 的值域为 1≠y5函数322+--=x x y 的值域为（ ]4,(-∞ ） 6函数2122y x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的值域为（ ),2[+∞- ） 7已知函数322+-=ax x y 在]4,1[的最大值为11，求a 的值 8函数12+=-xy 的值域为（ ),1(+∞ ） 9函数x xy 22+=-的值域为（ ),2[+∞ ）10函数xxy --=22的值域为 R11函数3)21(+=xy 的值域为（ ]4,2( ） 12函数4)2(-=xy 的值域为（ ),3[+∞- ） 13函数2)2(-=xy 的值域为（ ),2(+∞- ） 14函数3)2(+-=x y 的值域为（ )3,(-∞ ）15已知函数4424+-=x x y 在]4,1[上的最值16已知函数16224++=x x y 在]4,1[上的最大值与最小值的和17已知函数2cos 3sin -+=x x y 的值域为]0,4[- 18函数21y x x =++______[2,)-+∞___。

19函数xy 232-=的值域是( )32,(-∞ ). 20函数]4,0(,log 2∈=x x y 的值域是( ]2,(-∞ ). 21函数x y 2log =的值域是( R ).22函数]8,4(,4)(log 2∈+=x x y 的值域是( ]7,6( ). 23函数x y 416-=的值域是( )4,0[ ). 24函数x y 216-=的值域是( )4,0[ ). 25函数()()2log 31x f x =+的值域为()0,+∞ 26函数)43(log 2+=xy 的值域是( ),2(+∞ ). 27函数)64(log 22++=x x y 的值域是( ),1[+∞ ). 28函数)64(log 221++=x x y 的值域是( ]1,(--∞ ).29函数]3,0(,22∈+=x xx y 的值域是( ),4[+∞ ). 30已知,1,0,=+>b a b a 求ba 41+的最小值931已知y x ,，满足1422=++xy y x ，求y x +2的最大值 5102 32求函数11--+=x x y 的值域 ]2,0(33求函数2)1(12+-++=x x y 的值域 ]21,0[+34求函数12243++-=x x x x y 的值域]41,41[-。