高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法1 (直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为；时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】【例1】求函数的值域.【解析】故函数的值域是.【点评】（1）对于某些特殊的数的性质大家要熟悉，如算术平方根具有双重非负性，即：被开方数的非负性和值的非负性；是非负数；是一个非负数，是一个正数.掌握这些数的性质后，可以很快得到函数的值域.（2）不等式的性质在求函数的值域中经常用到，所以不等式的性质要熟练掌握.【反馈检测1】求函数的值域.函数是对称的分式函数.【例2 】求函数的值域.【点评】对于对称的分式函数，常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和，再求函数的值域.【反馈检测2 】求函数的值域.【例3】【2017北京，文11】已知，，且，则的取值范围是__________．【点评】（1）对于二次函数，常用配方法求函数的值域.先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.（2）有时函数的配方计算量比较大，所以可以不配方，直接计算抛物线的对称轴，画出抛物线的草图，截取定义域内的那一段观察，即可得到函数的值域.（3）本题注意不能把函数的定义域看作是，必须根据求出满足的条件，再和求交集得到函数的定义域.【反馈检测3】求函数的值域.【例4】求函数的值域.【解析】反解得即因为反函数的定义域为，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为.【点评】（1）当函数是分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),一般可以利用反函数法求函数的值域，当然，其它一些能反解出的函数，也可以选择反函数法求函数的值域.（2）利用反函数法求函数的值域，利用的知识点是“反函数的定义域是原函数的值域”.【反馈检测4】求函数值域.【例5】求函数的值域.【点评】（1）对形如的函数，可以考虑换元，消掉根式，化成一个二次函数.（2）在任何地方换元，都要注意新元的取值范围，它就是新函数的定义域.(3)本题也有简单一点的方法，由于函数在定义域上增函数，函数在定义域上也是增函数，所以原函数在定义域上是增函数，所以时，函数取最小值.【例6 】已知满足不等式.（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值.【解析】（1）【点评】（1）当函数中某一个复杂的式子反复出现时，我们可以考虑换元，使书写简单，使函数式子形式更简单明了.如果后面是指数，也可以换元.（2）换元时一定要注意新元的范围,注意数学等价转化的思想.【例7】求函数的值域.【点评】（1）由于，所以当已知中同时有或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. （3）本题显示出换元建立新函数转化化归的好处，本来一个函数有两个变量，不好处理，但是通过换元，变成了一个我们熟悉的一元二次函数，大大地提高了解题效率.【例8】已知是圆上的点，试求的值域.【解析】由题得，设则，即故，所以函数的值域为.【点评】当已知条件可以化为时，可以设，实行三角换元，这样可以优化解题，提高解题效率.【反馈检测5】若求函数的值域.函数的值域（最值）的常见求法1(直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】由题得所以函数的定义域，，即函数的值域为【反馈检测2答案】【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由题得，所以函数的定义域为.所以，所以函数的值域为.【反馈检测4答案】.【反馈检测4详细解析】由原函数式可得：则其反函数为，其定义域为，故所求函数的值域为.【反馈检测5答案】高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法2 （判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】形如的函数.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。

【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题，都是增函数，利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练，才能做到游刃有余.【反馈检测4】求函数的值域.【例6】求函数的值域.【点评】(1)画函数的图像，要先化简解析式，再画出函数的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值，，所以函数的最小值为5.（3）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图.【例7】如果函数定义在区间上，求的最小值.图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即.当时，函数取得最小值.图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.当时，函数取得最小值图3综上讨论，【点评】二次函数在闭区间上的最值问题，是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定，常利用分类讨论和数形结合分析解答.【例8】求函数的值域.因为直线和圆相切，所以所以函数的值域为【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.【例9】设是上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（）A．（1，2）B．C．D．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解所以恰有3个不同的实数解.则解得：＜a＜2. 故选D【点评】(1) 本题涉及到函数的奇偶性、周期性和零点问题，利用数形结合再好不过了. 所以要先根据已知条件作出函数的图像，再作出函数的图像，数形结合分析解答. (2)对于函数的问题，大家要比较敏感，随时想到利用函数的图像来分析.【例10】点为抛物线：上一动点，定点，则与到轴的距离之和的最小值为（）A.9B.10C.8D.5【解析】如图所示，焦点过点作垂直于准线交轴与点，到轴的距离,当三点共线时，取最小值，,所以与到轴的距离之和的最小值.【点评】圆锥曲线中，涉及到焦半径时，要想到圆锥曲线的定义，把问题转化，优化解题.【例11】已知x，y满足约束条件(1)求目标函数的最大值和最小值；(2)若目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，求的值；(3)求的取值范围．【解析】(1)作出不等式组表示的可行域如图：作直线：，并平行移动使它过可行域内的点，此时有最大值；过可行域内的点，此时有最小值，解，得．解，得．解，得．∴，.(2)一般情况下，当取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线平行于直线时，线段上的任意一点均使取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．又，∴.【点评】线性规划的问题，就是数形结合研究问题的典型.线性规划解答问题的一般步骤是（1）根据题意，设出变量；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系；（6）观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.【反馈检测5】若点的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点的坐标是.【例12】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【点评】（1）由于蚂蚁在沿着曲面爬行，所以蚂蚁走过的路线时曲线，要直接求，比较困难，怎么办？我们这时可以把曲面展开，变成平面，再利用解三角形的知识来分析解答，问题迎刃而解.（2）本题利用了转化化归的思想，把空间的问题化成平面的问题，问题迎刃而解.【反馈检测6】如图，圆锥的底面圆直径为2，母线长为4，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为______．【例12】已知函数，（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）求在区间上的最小值．【解析】（1）当时，又故切线的斜率为所以切线方程为：即（2）函数的定义域为当x变化时，的变化情况如下表：【点评】对于结构较复杂或高次的函数，一般利用导数法来研究函数的值域.先利用导数研究函数的单调性，再利用该函数的单调性画出函数的草图分析函数的值域.【例13】两县城和相距20，现计划在两县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城和城的总影响度为城与城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为,统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.（1）将表示成的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离;若不存在，说明理由.【解析】（1）如图,由题意知,,其中当时，,所以.所以表示成的函数为【点评】对于应用题，先要建立函数的模型，通过函数的模型，把一个实际问题转化成一个数学问题，再利用导数来研究函数的最值，最后再回到实际问题中去.【反馈检测7】已知函数，求函数在上的最大值．高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法2 （判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法和导数法）参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【反馈检测4答案】【反馈检测6详细解析】由题意知底面圆的直径，故底面周长等于．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得解得，所以展开图中，根据勾股定理求得=,所以小虫爬行的最短距离为【反馈检测7答案】当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为【反馈检测7详细解析】，∴．③当时，即时，在上是增函数，∴综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为.高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法3（绝对值不等式法和柯西不等式法）【知识要点】一、绝对值不等式1、重要绝对值不等式：|使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“一”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边. 再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“一”，总之要使中间是常数.2、求绝对值的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.二、柯西不等式1、二维形式的柯西不等式：若为实数，则.（当且仅当时取“=”）二维形式的柯西不等式的一些变式或或，要灵活选择应用.2、维向量的柯西不等式：设，则（当且仅当时取等号，假设）3、利用柯西不等式求最值时，要注意灵活配凑和构造,，使条件满足柯西不等式，这一点很关键.【方法讲评】直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.【例1】已知函数.(1)求的取值范围,使为常数函数；(2)若关于的不等式解集不是空集,求实数的取值范围.【点评】（1）关于的不等式解集不是空集，即关于的不等式有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于8.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.恒成立等价于，有解等价于，恒成立等价于，有解等价于.(3)第2问中绝对值的最值，用到了数形结合的方法和绝对值不等式.【反馈检测1】若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【反馈检测2】若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【例2】已知的最小值.【点评】(1)本题利用其它方法求函数的最值不是很方便简洁，但是选择柯西不等式比较简洁.由于已知中有平方和等条件，所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时，要学会配凑和构造，使它满足柯西不等式左右两边的形式.【反馈检测3】已知，且，则的最小值是．【反馈检测4】若存在实数使成立，求常数的取值范围.【反馈检测5】已知函数，，且的解集为．(1)求的值；(2)若，且，求的最小值.高中数学常见题型解法归纳-函数的值域（最值）的常见求法3 （绝对值不等式法和柯西不等式法）参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】不等式的解集为，故，所以，.【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得,即，所以，所以函数的最小值是，关于的不等式有实数解等价于，即，解得故选. 【反馈检测3答案】【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】由柯西不等式，，即，又知为非负数，所以，当且仅当，即时取等号.所以最大值为8.则若存在实数使成立，，所以常数的取值范围为.【反馈检测5答案】（1）；（2）9.。