赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1x 1，且x 1<x 2，判定抽象函数的单调性；③令y=﹣x ，判定抽象函数的奇偶性；④换x 为x+T ，确定抽象函数的周期；⑤用x=x 2+x 2或换x 为1x 等来解答有关抽象函数的其它一些问题.下面举例说明上述赋值策略.例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x ,y ∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy ).求证： f(x)是奇函数.解析：在f(x)+f(y)=f(x+y1+xy )中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x .有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数.例2已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x+1)=1+ f(x)1﹣f(x)，( f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)的值.解析：在f(x+1)=1+ f(x)1﹣f(x)中，将x 换为x+1有，f(x+2)=1+ f(x+1)1﹣f(x+1)=1+1+ f(x)1﹣f(x)1﹣1+ f(x)1﹣f(x)=﹣1f(x)， 从而f(x+4)=﹣1f(x+2)=﹣1﹣1f(x)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=1+ f(1)1﹣f(1)=﹣3.例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y).(1)求证：当x>0时，f(1x )=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数；解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=1x ，得f(x)+f(1x )=f(x ·1x )= f(1)=0，∴当x>0时，f(1x )=﹣f(x)；(2)设x 1>0、x 2>0且x 1<x 2，则x 2x 1>1，∴f(x 2x 1)<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x= x 2，y=1x 1，∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得，f(1x 1)=﹣f(x 1)，∴f(x 2x 1)=f(x 2)﹣f(x 1) <0，∴f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，+∞)上单调递减，故f(x)必有反函数；例4已知函数的定义域为R ，对任意x 、y 满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0，又令y=﹣x ，f(x)+f(-x)=f(x -x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数， 再设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，且在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=x 2，y=-x 1，则f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1) 由f(x)是奇函数得，f(x 2)-f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2-x 1)，∵x 2-x 1>0，∴f(x 2-x 1)>0，从而f(x 2)>f(x 1)，∴f(x)在(-∞.+∞)上是增函数.例5设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x,y ∈[0,12],都有f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=a>0，(1)求f(12)、f(14)；(2)证明：f(x)是周期函数；(3)记a n = f(2n+12n )，求limn →∞(lna n ).解析：：(1)在f(x+y)=f(x)·f(y)中，将x 、y 均换为x 2，f(x 2+x 2)=f(x 2)·f(x 2)=f 2(x2)≥0，即f(x)=f 2(x 2)≥0，x ∈[0,1]，又x 、y 均换为12，∴f(12+12)=f(12)·f(12)=f 2(12)，由已知f 2(12)=f(1)=a ，所以，f(12)=a 12 ，同理 f(14)=a 14.(2)由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1－x)=f(x+1)，∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(x －1)=f(x+1)，将x 换为x+1得，f(x)=f(x+2)， ∴f(x)是以2为周期的周期函数； (3)略.抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有0)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。

解：在)1(1)1()(x xx f x f +=-+中以xx 1-代换其中x ，得： )2(12)11()1(xx x f x x f -=--+-再在（1）中以11--x 代换x ，得 )3(12)()11(--=+--x x x f x f)3()2()1(+-化简得：)1(21)(23---=x x x x x f 评析：如果把x 和xx 1-分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题例6. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。

证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f = 若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f所以0)(1)(>-=x f x f又当0=x 时，01)0(>=f所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ， 所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+= 所以)(x f y =在R 上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题例7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数f （x ）的奇偶性。