南开大学
2014级大学文科数学统考试卷 （A 卷） 2015年1月19日
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．23+5lim 4--x x x →= .
2．3+)3+(lim x x x
x ∞→= . 3．已知)1+ln(=x y ，则=|′′0=x y . 4．函数x x y -3=在区间]2,0[上的最小值为 .
5．已知曲线2+=2-x x y 在M 点处切线的斜率为3，则M 点坐标为 .
6．设⎰+=C x dx x f 2
)(, 则⎰=dx x x f )(2 . 7．= .
8．由5+4=2x x y -，x 轴，y 轴及x =1围成平面图形的面积= .
9．微分方程22
11=x
y dx dy --的通解为 . 10．设行列式333231
2322
21131211
1=a a a a a a a a a D ，3231333122212321121113112+2+2+2=a a a a a a a a a a a a D ，且m D =1，则=2D . 11. 已知0=412
111
12
x x ，则=x .
12. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101A ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=01-11B ，则=+-1)(A B A . 二、计算题：（每小题8分，共56分）
1．计算)sin 1)+1ln(1(lim 0x
x x -→. 2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<+=0
sin 01
0)(x b x x a x x b e x f ax ，在0=x 点处的连续，求a , b 的值. 3. 求函数234x
x y +=的单调区间及极值.
4. 求不定积分xdx x arcsin 12⎰-.
5．计算.
6. 设,001013101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ,152130241⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=B 求解矩阵方程B AX =.
7. 解齐次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-011178402463035424321
43214321x x x x x x x x x x x x .
三、解答题（每小题4分，共8分） 1. 求不定积分dx x
x ⎰sin cos . 用分部积分法⎰⎰⎰-⋅==x
xd x x x d x dx x x sin 1sin sin 1sin sin sin 1sin cos dx x x dx x
x x ⎰⎰+=--=sin cos 1)sin cos (sin 12 移项得到0=1. 运算的结果显然是错误的，简单分析产生错误的原因。

2. 设)(x f 在1=x 处连续，且21
)(lim 1=-→x x f x ，求)1(f '.。