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大学文科数学复习资料

一、单项选择题(共10小题,每小题2分,共20分)1、设函数)(x f 的定义域是[0,1],那么(1)f x +的定义域是( B )。

A. [0,1]B. [1,0]-C. [1,2]D. [0,2]2、xx x 3sin lim∞→= ( D )。

A. 3B. 1C.31 D. 03、下列为0→x 时的等价无穷小的是( C )。

A. x 2sin 与xB. 12-xe 与x C. )1ln(x +与x D. x cos 1-与22x4、过曲线x x y ln =上0M 点的切线平行于直线x y 2=,则切点0M 的坐标是( D )。

A.(1,0)B.(e, 0)C. (e, 1)D. (e, e)5、设函数)(x f y =二阶可导,如果01)(")('00=+=x f x f ,那么点0x ( A )。

A. 是极大值点B. 是极小值点C. 不是极值点D. 不是驻点6、在区间),(+∞-∞内,下列曲线为凹的是( D )。

A.)1l n(2x y += B .32x x y -=C.x y cos =D.x e y -=7、设)(x f 为连续函数,则]')2([⎰dx x f =( B )。

A.)2(21x f B. )2(x f C. )2(2x f D. )(2x f8、若C e x dx x f x +=⎰22)(,则)(x f =( D )。

A. xxe22 B. xex 222 C. xxe2 D. )1(22x xex+9、下列关系式正确的是( C ) A. )()(x f dx x f d =⎰B. )()(x df dx x f d =⎰C. dx x f dx x f d )()(=⎰D. C x f dx x f d +=⎰)()(10、⎰-)cos 1(x d =( C )。

A. x cos 1-B. C x x +-sinC. C x +-cosD. C x +sin二、填空题(共10空,每空2分,共20分)11xx x )1321(lim ++∞→=32e 12、 设1)('0=xf ,则hx f h x f h )()2(lim000-+→=2 。

13、⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00)1ln(sin )(x a x x x x f 在0=x 处连续,则a = 212+=xey 1 。

14、设)10)...(2)(1()(+++=x x x x x f ,则)0('f = 10!15、x x f ln )(=在]2,1[上满足拉格朗日定理条件的ξ=2ln 1。

16、函数x x y 33-=在]3,0[的最小值是 -2 。

17、x cos 为)(x f 的一个原函数,则dx x f ⎰)(= C x +cos18、dx x x ⎰+)1(1= Cx x ++1ln19、dx xe x ⎰=Cx e x +-)1(。

20、经过点(0,1)且其切线斜率为xe2的曲线方程是212+=xey三、计算题(共9小题,每小题5分,共45分)21、求极限:xee xxx cos 12lim--+-→。

22、求极限:)sin 11(lim 0xxx -→。

23、设函数)(x f y =由方程e xy e y =+所确定,求dy 。

24、函数)(x f 二阶可导,且)(sin x f y =,求"y 。

25、 设函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x bax x x x f ,求当b a ,为何值时,)(x f 在1=x 处连续且可导。

26、求dx xx ⎰+2)1ln 2(。

27、求dx x⎰++111。

28、xx sin 为)(x f 的一个原函数,求dx x f x ⎰)('3。

29、求dx x x x ⎰+--52)52)(1(30、某产品的总成本的变化率(边际成本)为产量x 的函数。

若124.0)('-=x x C ,且固定成本为80,总收入是产量x 的函数x x R 20)(=。

求(1)总利润函数;(2)产量为多少时,总利润最大。

31、证明:当0>x 时,x x <+)1ln(。

2、设)(x f 在[1,2]上有二阶导数,且0)2()1(==f f ,)()1()(2x f x x F -=。

证明:)2,1(∈∃ξ,使0)("=ξF 。

30、解:由已知124.0)('-=x x C ,80)0(=C ,解得80122.0)(2+-=x x x C总利润函数802.032)80122.0(20)()()(22--=+--=-=x x x x x x C x R x L即802.032)(2--=x x x L ……3分x x L 4.032)('-=,令0)('=x L ,解得80=x因为04.0)(''<-=x L ,所以当80=x 时,取得最大利润1200)80(=L ……2分31、证:设x x x f -+=)1ln()(,01)('<+-=xx x f ,即)(x f 在),0[+∞单减……3分所以当0>x 时,有)0()(f x f <,即x x <+)1ln(……2分32、证:由已知0)1(=F ,0)2()2(==f F ,)(x F 在[1,2]上满足罗尔中值定理的条件,故)2,1(∈∃c ,使0)('=c F ……2分 又)(')1()()1(2)('2x f x x f x x F -+-=,有0)1('=F 所以对)('x F 在[1,2]上满足罗尔中值定理的条件,故)2,1(),1(⊂∈∃c ξ,使0)("=ξF1、若f (x )为奇函数,且对任意实数x 恒有f (x +3)-f (x -1)=0,则f (2)=(B ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、22 、函数)1ln(-=x y 在区间(D )内有界A 、),1(+∞B 、),2(+∞C 、)2,1(D 、)3,2(3、下列极限存在的有 ( A ) A 、2)1(limxx x x +∞→ B 、121lim-→xx C 、xx e 1lim → D 、xx x 1lim2+→4、下列为0→x 时的等价无穷小的是( C )。

A x 2sin 与xB 、12-xe 与x C 、)1ln(x +与x D 、x cos 1-与22x5、对数列{n u },以下结论正确的是( D )A 、单调增加的正数数列必收敛 B、单调减少的 数列必收敛 C、单调减少的负数数列必收敛 D、单调减少的正数数列必收敛 6、设在]1,0[上,0)(>''x f ,则(B )成立。

A 、)0()1()0()1(f f f f ->'>'B 、)0()0()1()1(f f f f '>->'C 、)0()1()0()1(f f f f '>'>-D 、)0()1()0()1(f f f f '>->' 7、(1,1)是函数321y ax bx =+-的拐点,则( A )A 、 1,3a b =-= B、0,0a b == C、2,4a b =-= D 、2,3a b =-=8、若0x 是)(x f 的一个极值点,则在0x 点处 ( B )A 、0)(0='x fB 、0)(0='x f 或)(0x f '不存在C 、0)(0<''x fD 、0)(0='x f 且0)(0<''x f9、已知C xdx x f +=⎰1arctan)(,则=)(x f ( C )A 、)1(212x + B 、211x+ C 、211x+-D 、211x-10、若cos2x 是g (x )的一个原函数,则( A )A 、⎰+=C x x x g 2cos d )(B 、⎰+=C x g x x )(d 2cos C 、⎰+='C x x x g 2cos d )(D 、⎰+='C x g x x )(d )2(cos11、设函数f (x )的定义域为[0,4],则f (x 2)的定义域是]2,2[-_. 12、极限xx x 20)21(lim -→-=4e 13、极限2sin lim1x x x x →∞+=+___0___14、若3)12(lim 2-=-+-∞→x xaxx x ,则=a 1 。

15、已知)(x f y =在x=0处可导,且2)0('=f ,则=-→xf x f x )0()2(lim4 。

16、设函数)(x f 有连续的导函数,0)0(=f ,且1)0('=f ,若⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00s i n2)()(x A x xx x f x F 在0x = 处连续,则常数A= 3 17、曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为12-=x y18、若()()f x dx F x c =+⎰,则=⎰dx xx f )(ln C x F +)(ln19、设()f x 为连续函数,则=⎰))2((dx x f dxd )2(x f20、dx xx ⎰--2121=C x x +-+212arcsin求极限0lim→x )1ln(1sin e2x x x+--. 22、求极限x x x 1)1(lim ++∞→ 23、设212xx y -=,求d y24、设x x y x 2+=,求'y 25、函数)(x f 二阶可导,)(sin x f y =,求''y 26、若20y xy e x +-=,求:10x y dy dx==。

27、求⎰xdx x 35cos sin28、求dx xx ⎰-1 29、 设)(x f 的一个原函数为2xe,求⎰'dx x f x )(30、某种商品的平均成本4)(=Q C ,价格函数Q Q P 420)(-=(Q 为商品数量),试求生产多少商品时,利润最大?31、 证明方程sin x a x b =+,其中0,0a b >>,至少有一个正根,并且它不超过a b +32、证明:当0>x 时,212xx ex++>30、解:由已知Q Q C 4)(= , 2420)()(Q Q Q QP Q R -== 总利润函数2416)()()(Q Q Q C Q R Q L -=-=……2分Q Q L 816)('-=,令0)('=Q L ,解得2=Q ;因为08)(''<-=Q L ,所以当2=Q 时,取得最大利润……31、证:设x b x a x f -+=sin )(,显然)(x f 在],0[b a +上连续, 0)0(>=b f ;]1)[sin()(-+=+b a a b a f ……1分若01)sin(=-+b a ,则b a +即是方程正根……1分 若01)sin(≠-+b a ,则0)(<+b a f ,由零点定理,0)(.),,0(=+∈∃ξξf st b a ,即0sin =-+ξξb a ……3分 命题得证32、证:设21)(2xx e x f x---=,x e x f x --=1)(',1)(''-=xe x f当0>x 时,0)(''>x f ,)('x f 在),0[+∞上单增,有0)0(')('=>f x f ……2分故)(x f 也在),0[+∞上单增,有0)0()(=>f x f ……2分即当0>x 时,1、设函数)(x f 的定义域是]2,0[,那么)2(+x f 的定义域是( B )。

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