八年级下期末复习5
如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，∠DAE的平分线交CD于F，BG⊥AF于G，交AE 于H．
（1）如图1，∠DEA=60°，求证：AH=DF；
（2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．
证明：（1）延长BG交AD于点S
∵AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF ∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90°又∵AG=AG
∴△AGH≌△AGS
∴AH=AS，
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAG，
∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°∴∠BAG=∠ASB
∴∠ASB=∠AFD
又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD
∴△ABS≌△DAF
∴DF=AS
∴DF=AH．
（2）DF=AH．
同理可证DF=AH．
（3）DF=AH
如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点（点O不与A、C两点重合），过点O作直线MN ∥BC，直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．（1）OE与OF相等吗？为什么？
（2）探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
（3）在（2）中，当∠ACB等于多少时，四边形AECF为正方形．（不要求说理由）
解：（1）如图所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，FH⊥BF，
因为直线EC，CF分别平分∠ACB与∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH，
在△EJO与△FKO中，
∠AOE=∠CON ∠EJO=∠FKO EJ=FK ，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF
（2）当OA=OC，OE=OF时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形；
（3）由（2）可知，四边形AECF是矩形，要使其为正方形，再加上对角线垂直即可，即∠ACB=90°（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG=（AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）
（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG 与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC 三边之间数量关系是
解如图
（1）FG=1 /2 （AB+BC+AC）；
（2）答：FG=1 /2 （AB+AC-BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC=∠CGN=90°，∠AFB=∠BFM=90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC=∠CGN=90°，CG=CG，∠ACG=∠NCG
∴Rt△AGC≌Rt△CGN
∴AC=CN，AG=NG
同理可证：AF=FM，AB=BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF=1/ 2 MN．
∵AB+AC=MB+CN=BN+MN+CM+MN，BC=BN+MN+CM
∴AB+AC-BC=MN
∴GF=1 /2 MN=1 /2 （AB+AC-BC）；
（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF=1/ 2 （AC+BC-AB）．
已知：△ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点．
（1）如图1，当∠ACB=120°时，∠MPN的度数为
；
（2）如图2，当∠ACB=α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明．
解：（1）∠MPN的度数为60°；
（2）∠MPN的度数不变，仍是60°，理由如下：
证明：取AC、BC的中点分别为F，G，
连接MF、FP、PG、GN，
∵MF是等边三角形ACD的中位线，
∴MF=1 /2 AD=1 /2 AC，MF∥AD，
∵PG是△ABC的中位线，
∴PG=1/ 2 AC，PG∥AC，
∴MF=PG，
同理：FP=CG，
∴四边形CFPG是平行四边形，
∴∠CFP=∠CGP，
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP，
即∠MFP=∠PGN，
∴△MFP≌△PGN（SAS），
∴∠FMP=∠GPN，
∵PG∥AC，
∴∠1=∠2，
在△MFP中，∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°，
又∵∠MFC=60°，
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠CFP=∠1+∠3，
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°，
∵∠1=∠2，∠FMP=∠GPN，
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°，
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°，
∴∠MPN=60°．
如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=k/x
（x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，
得正方形OBAC的面积为16．
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；．
（2）点P（m，16/3 ）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否
存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结论：①QM+OM的值不变；②QM/OM
的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．
解：（1）∵正方形OBAC的面积为16，
∴A（4，4）；（2分）
将A点代入反比例函数y=k /x （x＞0）中，得反比例函数的解析式：y=16/ x ；（2）将y=16/ 3 代入y=16 /x 得：P(3，16 /3 )；
设存在点D，延长PC交x轴于E点；
∵∠COE=∠DOB=90°，∠ECO=∠DCP，
∴∠CEO=∠ODB；
而OC=OB，
∴△COE≌△BOD，∴OE=OD；
而C（0，4），P(3，16 /3 )，
∴直线CP的解析式为y=4 /9 x+4；
当y=0时，x=-9，
∴E（-9，0），
故D（0，9），
∴直线l的解析式为：y=-11/ 9 x+9
（3）选②，值为1．
连FM，
∵DE∥BC，
∴OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，
∴EM=HM=FM；
∵∠OEH=∠QFM=45°，
∴△QMF≌△OME；
∴QM=OM；
∴QM OM =1．。